Rozwijanie w szereg potęgowy i promienie zbieżności

[gonti_g]

Rozwinąć w szereg potęgowy dane funkcje i znaleźć promień zbieżności:
a) \(\displaystyle{ z^n}\) w punkcie a, gdzie \(\displaystyle{ a \in C, n \in N}\)
b)\(\displaystyle{ \frac{1}{z}}\)w punkcie 1
c)\(\displaystyle{ \frac{1}{z-1}}\) w punkcie 0
d) \(\displaystyle{ \frac{1}{z+1}}\) w punkcie 2
e)\(\displaystyle{ \frac{1}{z-2}}\) w punkcie -1
Jakby tak ktoś zrobił chociaż jedno od początku do końca, to z resztą może bym sobie poradziła. Chciałabym zobaczyć sposób w jaki to zrobić.

[yorgin]

Rozwinąć w szereg potęgowy dane funkcje i znaleźć promień zbieżności:
a) \(\displaystyle{ z^n}\) w punkcie a, gdzie \(\displaystyle{ a \in C, n \in N}\)

Rozwijamy wokół punku całkowitego? Trochę to dziwne. Ale cóż, przykład rozwinięcia poniżej:

b)\(\displaystyle{ \frac{1}{z}}\)w punkcie 1
.

\(\displaystyle{ \frac{1}{z}=-\frac{1}{1-(z-1)}=-\sum\limits_{n=0}^\infty (z-1)^n}\).

Przydaje się wzorek na sumę szeregu geometrycznego.

[gonti_g]

Na pewno to jest w porządku? Bo wychodzi, że \(\displaystyle{ \frac{1}{z}=-\frac{1}{2-z}}\). czy ja jakoś źle patrze?

[yorgin]

No nie jest. W nawiasie powinny być odwrócone znaki. Wtedy również znika minus przed całym wyrażeniem.

Poprawna wersja:

\(\displaystyle{ \frac{1}{z}=\frac{1}{1-(1-z)}=\sum\limits_{n=0}^\infty (1-z)^n}\)

[gonti_g]

Nie wiem czy dobrze myślę, ale może to będzie tak:
\(\displaystyle{ \frac{1}{z}= \frac{1}{1+(z-1)} = \frac{1}{1-(-(z-1))} = \sum_{n=0}^{ \infty } (-(z-1))^n = \sum_{n=0}^{ \infty } (-1)^n(z-1)^n}\)
bo skoro ma być w punkcie 1 to powinno być (z-1)?
Co o tym myślisz?

[yorgin]

Twój zapis jest lepszy

Przy okazji, mój i Twój wynik są równoważne, przy czym Twój jest chyba najlepszej postaci \(\displaystyle{ \sum a_n(z-z_0)^n}\).

Chyba łatwiej czasem sprawdzać jak pisać. Jeżeli masz pytania do innych, napisz swoje przekształcenia.

[gonti_g]

dzięki
To mam jeszcze pytanie do d)
\(\displaystyle{ \frac{1}{z+1} = \frac{1}{3+(z-2)}= \frac{1}{3(1-(- \frac{z-2}{3}) } = \frac{1}{3} \sum_{n=0}^{ \infty } ( -\frac{z-2}{3})^n= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{3}(- \frac{1}{3})^n(z-2)^n}\)
Czy da się to jeszcze bardziej jakoś uprościć?

-- 14 lis 2013, o 21:32 --

I jeżeli liczymy ten promień zbieżności, to nie musimy już nic przekształcać, tylko bierzemy \(\displaystyle{ a _{n}}\) i liczymy z odpowiedniego wzoru?-- 14 lis 2013, o 21:47 --I podstawowe pytanie, czy promień zbieżności może wyjść ujemny?

[yorgin]

Czy da się to jeszcze bardziej jakoś uprościć?

Niespecjalnie.

I jeżeli liczymy ten promień zbieżności, to nie musimy już nic przekształcać, tylko bierzemy \(\displaystyle{ a _{n}}\) i liczymy z odpowiedniego wzoru?

Tak. Już wszystko mamy i tylko stosujemy wzór.

I podstawowe pytanie, czy promień zbieżności może wyjść ujemny?

No nie może. Masz granicę entych pierwiastków z modułów, więc z liczb dodatnich. Wynik zatem musi wyjść nieujemny.

[gonti_g]

No właśnie miałam pisać, że już wiem
To jak \(\displaystyle{ a_{n}=(-1)^n}\), to promień zbieżności jest równy 1?

[yorgin]

Tak.

[gonti_g]

Ok, super. Dziękuję, bardzo mi pomogłeś.