Witam,
mam problem z takim zadaniem ( a raczej przekształceniem wyniku ).
Należy znaleźć pierwiastki \(\displaystyle{ \sqrt[3]{i}}\)
obliczyłem moduł : \(\displaystyle{ \left| z\right|=i}\)
i z tego wyznaczyłem kąt \(\displaystyle{ \varphi = \frac{\pi}{2}}\)
korzystając z wzoru mam : \(\displaystyle{ z_{0}= \sqrt[3]{i}(\cos \frac{ \frac{\pi}{2} }{3}+ i \sin \frac{ \frac{\pi}{2} }{3})=\sqrt[3]{i}(\cos { \frac{\pi}{6}+ i \sin \frac{\pi}{6})}\)
czyli zamieniając cos i sin mamy:
\(\displaystyle{ z_{0}=\sqrt[3]{i}( \frac{ \sqrt{3} }{2}+ \frac{1}{2}i)=\sqrt[3]{i} \cdot \frac{ \sqrt{3}+i }{2}}\)
powinno być dobrze do tego momentu, jednak w książce są takie odpowiedzi:
\(\displaystyle{ -i; \frac{ \sqrt{3}+i }{2}; \frac{ -\sqrt{3}+i }{2}}\)
i ten wynik nie pasuje do żadnej, albo źle obliczyłem coś albo nie wiem jak to przekształcić.
Z góry dziękuję za pomoc.
Wyznaczyc pierwsiastki.
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 6 paź 2013, o 21:06
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 14 razy
Wyznaczyc pierwsiastki.
hmm no właśnie na zajęciach pomijaliśmy (albo tak mi się wydawało, bo nie robiliśmy liczb czystourojonych) pierwiastek czyli:
\(\displaystyle{ z=i}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right|= \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\) << faktycznie, tutaj popełniłem błąd podstawiając "i"
\(\displaystyle{ \left| z\right|= \sqrt{ 0^{2}+ 1^{2}}= \sqrt{1} =1}\)
więc:
\(\displaystyle{ z _{0}= \sqrt[3]{1}(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6})=1( \frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{1}{2}i)= \frac{ \sqrt{3}+i }{2}}\)
mógłbyś jeszcze wytłumaczyć dlaczego przy liczeniu modułu bierze się tylko to co jest pod pierwiastkiem ?
i jeszcze jedno pytanie :
jak to przekształcić :
\(\displaystyle{ 1(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}=1(\cos(\pi- \frac{\pi}{6})+i\sin (\pi- \frac{\pi}{6}))}\)
wiem że powinno wyjść :
\(\displaystyle{ (-\cos \frac{\pi}{6}+ i\sin\frac{\pi}{6})}\) i z tym sobie poradze, tylko nie wiem z jakiego powodu tak wychodzi.
\(\displaystyle{ z=i}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right|= \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\) << faktycznie, tutaj popełniłem błąd podstawiając "i"
\(\displaystyle{ \left| z\right|= \sqrt{ 0^{2}+ 1^{2}}= \sqrt{1} =1}\)
więc:
\(\displaystyle{ z _{0}= \sqrt[3]{1}(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6})=1( \frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{1}{2}i)= \frac{ \sqrt{3}+i }{2}}\)
mógłbyś jeszcze wytłumaczyć dlaczego przy liczeniu modułu bierze się tylko to co jest pod pierwiastkiem ?
i jeszcze jedno pytanie :
jak to przekształcić :
\(\displaystyle{ 1(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}=1(\cos(\pi- \frac{\pi}{6})+i\sin (\pi- \frac{\pi}{6}))}\)
wiem że powinno wyjść :
\(\displaystyle{ (-\cos \frac{\pi}{6}+ i\sin\frac{\pi}{6})}\) i z tym sobie poradze, tylko nie wiem z jakiego powodu tak wychodzi.
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy