Wyznaczyc pierwsiastki.

[Joker1309]

Witam,
mam problem z takim zadaniem ( a raczej przekształceniem wyniku ).

Należy znaleźć pierwiastki \(\displaystyle{ \sqrt[3]{i}}\)
obliczyłem moduł : \(\displaystyle{ \left| z\right|=i}\)
i z tego wyznaczyłem kąt \(\displaystyle{ \varphi = \frac{\pi}{2}}\)

korzystając z wzoru mam : \(\displaystyle{ z_{0}= \sqrt[3]{i}(\cos \frac{ \frac{\pi}{2} }{3}+ i \sin \frac{ \frac{\pi}{2} }{3})=\sqrt[3]{i}(\cos { \frac{\pi}{6}+ i \sin \frac{\pi}{6})}\)
czyli zamieniając cos i sin mamy:
\(\displaystyle{ z_{0}=\sqrt[3]{i}( \frac{ \sqrt{3} }{2}+ \frac{1}{2}i)=\sqrt[3]{i} \cdot \frac{ \sqrt{3}+i }{2}}\)

powinno być dobrze do tego momentu, jednak w książce są takie odpowiedzi:

\(\displaystyle{ -i; \frac{ \sqrt{3}+i }{2}; \frac{ -\sqrt{3}+i }{2}}\)

i ten wynik nie pasuje do żadnej, albo źle obliczyłem coś albo nie wiem jak to przekształcić.

Z góry dziękuję za pomoc.

[Kartezjusz]

Machnął ci się gdzieś moduł.

[Joker1309]

hmm no właśnie na zajęciach pomijaliśmy (albo tak mi się wydawało, bo nie robiliśmy liczb czystourojonych) pierwiastek czyli:

\(\displaystyle{ z=i}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right|= \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\) << faktycznie, tutaj popełniłem błąd podstawiając "i"
\(\displaystyle{ \left| z\right|= \sqrt{ 0^{2}+ 1^{2}}= \sqrt{1} =1}\)

więc:
\(\displaystyle{ z _{0}= \sqrt[3]{1}(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6})=1( \frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{1}{2}i)= \frac{ \sqrt{3}+i }{2}}\)

mógłbyś jeszcze wytłumaczyć dlaczego przy liczeniu modułu bierze się tylko to co jest pod pierwiastkiem ?

i jeszcze jedno pytanie :

jak to przekształcić :
\(\displaystyle{ 1(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}=1(\cos(\pi- \frac{\pi}{6})+i\sin (\pi- \frac{\pi}{6}))}\)

wiem że powinno wyjść :

\(\displaystyle{ (-\cos \frac{\pi}{6}+ i\sin\frac{\pi}{6})}\) i z tym sobie poradze, tylko nie wiem z jakiego powodu tak wychodzi.

[Kartezjusz]

Bierze się, ale liczy poerwiastek odpowiedniego stopnia,ale rzeczywisty.