Udowodnić nierówność

[Drzewo18]

\(\displaystyle{ |z+z'|\ge ||z|-|z'||}\)

Mam dwa przypadki:
1. \(\displaystyle{ |z+z'|\ge |z|-|z'|}\)
2. \(\displaystyle{ |z+z'|\le|z'|-|z|}\)
Co dalej?

[Kartezjusz]

Załóż sobie, bez utraty ogólności, że \(\displaystyle{ |z| \ge |z'|}\). To na pozwoli uniknąć rozdziału na przypadki. Potem nierównosc trójkąta.

[Drzewo18]

A czemu mogę sobie tak założyć?

[Kartezjusz]

Bo jak założysz coś przeciwnego ,to dowód przejdzie dokłdnie tak samo, tylko \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ z'}\)zamienią się miejscami.

[Drzewo18]

\(\displaystyle{ |z+z'|\ge |z|-|z'| \\
|z+z'|^2\ge |z|^2-2|z||z'|+2|z'|^2 \\
z^2+2zz'+z'^2\ge z^2-2|z||z'|+2z'^2 \\
2zz'\ge -2zz' \\
L\ge P}\)
Czy tak będzie poprawnie?

[Kartezjusz]

Nie wiem czemu opuściłeś moduły w III linijce. Nie zakładaliśmy konkretnych znaków modułów, a jedynie relację pomiędzy ich modułami.

[yorgin]

Wskazówka:

\(\displaystyle{ |z|=|(z+z')-z'|\leq |z+z'|+|-z'|}\)

Dalej powinno pójść z górki.