Obliczania argumentu liczby zepolonej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
tech2nick
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 11 lis 2013, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Obliczania argumentu liczby zepolonej

Post autor: tech2nick »

Witam, jak obliczyć \(\displaystyle{ 0 \le arg(z ^{3}) \le \frac{ \pi }{2}}\)? Na logikę robię pierwastek \(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \frac{ \pi }{2} }}\) i wtedy zakreslam kąt \(\displaystyle{ \left\langle 0\right\rangle \sqrt[3]{ \frac{ \pi }{2} }}\), ale w odpowiedzi do zad jest cos zupelnie innego. Mógłby ktoś to wytłumaczyć?
chris_f
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2727
Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 945 razy

Obliczania argumentu liczby zepolonej

Post autor: chris_f »

Jeżeli \(\displaystyle{ Arg z=\alpha}\) to \(\displaystyle{ Arg(z^3)=3\alpha}\). A zatem nierówność
\(\displaystyle{ 0\le arg(z^3)\le\frac{\pi}{2}}\)
jest rownoważna nierówności
\(\displaystyle{ 0\le arg(z)\le\frac{\pi}{6}}\)
i zakreślasz kat od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\).
Poszukaj sobie o wzorze de Moivre'a.
tech2nick
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 11 lis 2013, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Obliczania argumentu liczby zepolonej

Post autor: tech2nick »

Tak zrobiłem, ale w odpowiedzi do zadania (Kolokwia i egzaminy, aut. Gewert i Skoczylas) widnieje wykres 3 kątów, każdy co \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)
Ostatnio zmieniony 13 lis 2013, o 21:26 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Obliczania argumentu liczby zepolonej

Post autor: yorgin »

chris_f pisze:Jeżeli \(\displaystyle{ Arg z=\alpha}\) to \(\displaystyle{ Arg \left( z^3 \right) =3\alpha}\). A zatem nierówność
\(\displaystyle{ 0\le arg \left( z^3 \right) \le\frac{\pi}{2}}\)
jest rownoważna nierówności
\(\displaystyle{ 0\le arg \left( z \right) \le\frac{\pi}{6}}\)
i zakreślasz kat od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\).
W tym rozumowaniu jest jeden istotny błąd: o ile samo potęgowanie powoduje mnożenie argumentu przez wykładnik, o tyle operacja odwrotna - poszukiwaniu argumentu wyjściowego należy dokonywać modulo \(\displaystyle{ 2\pi}\). Żeby niczego nie przegapić, przedział \(\displaystyle{ \left[ 0,\frac{\pi}{2} \right]}\) można zapisać na wiele sposobów, w ogólności \(\displaystyle{ \left[ 0,\frac{\pi}{2} \right] = \left[ 0+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi \right]}\) dla każdego \(\displaystyle{ k}\). Łatwo sprawdzić, że przy trzeciej potędze wystarczy wziąć \(\displaystyle{ k=0, 1, 2}\) by otrzymać przy dzieleniu argumentów wszystkie możliwe przedziały, dla których \(\displaystyle{ \arg(z^3)\mod 2\pi}\) wpada w żądany przedział.
tech2nick
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 11 lis 2013, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Obliczania argumentu liczby zepolonej

Post autor: tech2nick »

Teraz już rozumiem, dziękuję za pomoc
ODPOWIEDZ