Funkcje C-różniczkowalne

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
gonti_g
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 13 sty 2012, o 17:36
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Funkcje C-różniczkowalne

Post autor: gonti_g »

Mam takie zadanie:
Pokazać, że funkcja:
\(\displaystyle{ f\left( z\right):= \begin{cases} \left( 1+i\right)\left| z\right|^2Imz^2, z \neq 0 \\ 0, z=0 \end{cases}}\)
spełnia równania Cauchy'ego-Riemanna w \(\displaystyle{ z=0}\), ale nie jest C-różniczkowalna.
Proszę o pomoc.
miodzio1988

Funkcje C-różniczkowalne

Post autor: miodzio1988 »

Równania te wiesz jak wyglądają? Czego potrzebujemy do tych rownan?
gonti_g
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 13 sty 2012, o 17:36
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Funkcje C-różniczkowalne

Post autor: gonti_g »

No tak, wiem jak wyglądają
\(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial x}\left( z\right)=\frac{ \partial v}{ \partial y}\left( z\right)}\), \(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial y}\left( z\right)=-\frac{ \partial v}{ \partial x}\left( z\right)}\)
i jeżeli się nigdzie nie pomyliłam to
\(\displaystyle{ \left( 1+i\right)\left| z\right|^2Imz^2=x^4-y^4-2x^3y-2xy^3+i\left( 2x^3y+2xy^3+x^4-y^4\right)}\)
i wtedy
\(\displaystyle{ u=x^4-y^4-2x^3y-2xy^3}\)
\(\displaystyle{ v=2x^3y+2xy^3+x^4-y^4}\)
ale nie wiem czy trzeba tak to rozpisywać w ogóle, pochodne z tego oczywiście umiem policzyć, tylko co dalej.
miodzio1988

Funkcje C-różniczkowalne

Post autor: miodzio1988 »

Sprawdzić te warunki.

I serio sprawdź 150 razy czy dobrze wyznaczyłeś część rzeczywistą i urojoną
gonti_g
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 13 sty 2012, o 17:36
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Funkcje C-różniczkowalne

Post autor: gonti_g »

\(\displaystyle{ \left( 1+i\right)\left| z\right|^2Imz^2=2x^3y+2xy^3+i\left( 2x^3y+2xy^3\right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial x}=6x^2y+2y^3}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial v}{ \partial y}=6xy^2+2x^3}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial y}=6xy^2+2x^3}\)
\(\displaystyle{ -\frac{ \partial v}{ \partial x}=-6x^2y-2y^3}\)
No i rzeczywiście dla \(\displaystyle{ z=0}\), czyli \(\displaystyle{ x=0}\) i \(\displaystyle{ y=0}\), równania CR są spełnione.
Jak teraz wykazać, że w \(\displaystyle{ z=0}\) ta funkcja nie jest \(\displaystyle{ C-rożniczkowalna}\)?
miodzio1988

Funkcje C-różniczkowalne

Post autor: miodzio1988 »

różniczkowalność w świecie liczb zespolonych jak definiujemy? Popatrz się na otoczenie tego punktu
gonti_g
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 13 sty 2012, o 17:36
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Funkcje C-różniczkowalne

Post autor: gonti_g »

\(\displaystyle{ f'\left(z_{0} \right) = \frac{f\left( z\right)-f\left( z _{0} \right) }{z-z _{0} }}\)
tylko, że z tą granicą właśnie mam problem, nie wiem jak pokazać, że ona nie istnieje-- 11 lis 2013, o 23:50 --jeszcze lim zapomniałam napisać po nawiasie
ODPOWIEDZ