Obliczyć korzystając ze wzoru Moivre’a wartość wyrażeń

[wiktor12348]

Obliczyć korzystając ze wzoru Moivre’a wartość wyrażeń ( wynik podać w postaci algebraicznej)
\(\displaystyle{ \left( -\cos \frac{ \pi }{7}+i\sin \frac{ \pi }{7} \right) ^{14}}\)

Nie mam pojęcia jak się za to zabrać. Wszędzie miałem przykłady w których liczba zespolona nie miała cos/sin.

Prosiłbym o rozwiązanie i komentarz...

Dziękuje i pozdrawiam.


EDIT:
W jednym opracowaniu jest podobne zadanie. Korzystają z argumentu.

\(\displaystyle{ \cos \varphi= \frac{x}{\left| z\right| }}\)
\(\displaystyle{ \sin \varphi= \frac{y}{\left| z\right| }}\)

i jakoś magiczne moduł ich wychodzi 1...

[chris_f]

Moduł równy \(\displaystyle{ 1}\) nie wychodzi w "magiczny" sposób tylko normalnie.
Masz \(\displaystyle{ z=-\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7}}\).
Obliczamy moduł
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{\left(-\cos\frac{\pi}{7}\right)^2+\left(\sin\frac{\pi}{7}\right)^2}=
\sqrt{\cos^2\frac{\pi}{7}+\sin^2\frac{\pi}{7}}=1}\) - korzystamy oczywiście z jedynki trygonometrycznej.
No a dalej to dosyć prosto - mamy
\(\displaystyle{ \begin{cases}\cos\varphi=-\cos\frac{\pi}{7}\\ \sin\varphi=\sin\frac{\pi}{7}\end{cases}
\Rightarrow \varphi=???}\)
Cały problem w znalezieniu kąta \(\displaystyle{ \varphi}\), a to już dosyć prosta trygonometria, z drugiego dostaniesz dwie możliwości (oczywiście w przedziale \(\displaystyle{ [0,2\pi]}\)), sprawdzasz, która spełnia pierwsze i masz argument. A potem to już wzór de Moivre'a.

[wiktor12348]

Faktycznie, czasem człowiek jest zagubiony w tym wszystkim

Jak dobrze to rozumiem to:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\cos\varphi=-\cos\frac{\pi}{7}\\ \sin\varphi=\sin\frac{\pi}{7}\end{cases}
\Rightarrow \varphi=\pi- \frac{\pi}{7}= \frac{6\pi}{7}}\)

Dalej:
\(\displaystyle{ 1\left[\cos(14* \frac{6\pi}{7})+i\sin(14* \frac{6\pi}{7})\right] =1(\cos 12\pi +i\sin12\pi)}\)

Mam to przedstawić w postaci algebraicznej.

\(\displaystyle{ 1(\cos 12\pi +i\sin12\pi)=\cos 2\pi +i\sin2\pi= 1 + 0 =1}\)

Chyba nie muszę już zapisywać że \(\displaystyle{ 2\pi=\pi+\pi}\) bo wtedy cos i sin są ujemne a cos=-1 więc i tak będzie jeden a tak cos = 1 a sin = 0