Pierwiastki rzeczywiste równania zespolonego.

[madziszyn]

Cześć, mam takie zadanie:
Udowodnij, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in N}\) równanie
\(\displaystyle{ (z - i)^{n} - (z + i)^{n} = 0}\) ma tylko pierwiastki rzeczywiste. Jeśli tak to jakie ?

Myślałem nad tym długo, ale nie wiem jak zacząć nawet. Dzięki z góry.

edit. Nie wiem jak interpretować sytuacje gdy \(\displaystyle{ n = 1}\), bo wtedy przecież:
\(\displaystyle{ z - i - z - i = 0 \Leftrightarrow -2i \neq 0}\)

[Kartezjusz]

Trzeba dodać, że jeśli ma to tylko rzeczywiste. Ja polecam użycie dwumianu Newtona. elementy bez "i" powinny się pokasować.

[brzoskwinka1]

Pierwiastkami tego równania są liczby \(\displaystyle{ z_k =\frac{(1+i) e_k}{1-e_k}}\) gdzie \(\displaystyle{ e_k =e^{\frac{k}{n}\cdot 2\pi},}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,...,n-1 .}\)