Rozwiąż równanie i wyznacz niewiadomą z

[Gohan]

\(\displaystyle{ |z|+ \bar {z} -z = 3-4i}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2}}+x-yi-x+yi = 3-4i}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2}} = 3-4i /\left( ...\right) ^{2}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2}} = \left( 3-4i\right) ^{2}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2}} = 9-24i-16}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2}}=-7-24i}\)
-------------------------------------------------------------
\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2}}= \sqrt{3 ^{2} +(-4) ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2}} = 5}\)

\(\displaystyle{ 7-24i=5}\)

Nie rozumiem tego , doszedłem do tych 2 równań i tak mi wyszło,nie wiem co dalej zrobić

Wynik ma wyjść :
\(\displaystyle{ z = \sqrt{5} + 2i ∨ z = − \sqrt{5} + 2i}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ |z|= \bar {z} -z = 3-4i}\)

\(\displaystyle{ |z|+ \bar {z} -z = 3-4i}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2}}+x-yi-x+yi = 3-4i}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2}}+x-yi-\left( x+yi \right)= 3-4i}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2}} = 3-4i /\left( ...\right) ^{2}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2}} = 3-4i+2yi /\left( ...\right) ^{2}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2}} = \left( 3-4i\right) ^{2}}\)

\(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2} = \left( 3+i\left(2y-4 \right)\right) ^{2}}\)

Jak będzie dalej?

[Gohan]

Skąd wziąłeś po prawej stronie to : \(\displaystyle{ +2yi}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2}}+x-yi-\left( x+yi \right)= 3-4i}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2}}+x-yi- x-yi = 3-4i}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2}}-yi-yi = 3-4i}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2}}-2yi = 3-4i}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2}}= 3-4i+2yi}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2}}= \left(3+i\left( 2y-4\right) \right)}\)

[Gohan]

Achaaaa

[kerajs]

Sorry że mój ostatni post zawiera tak elementarne przekształcenia. Uznałem jednak, że skoro Ty z trzech pierwszych przekształceń żadnego nie zrobiłeś poprawnie, a po wskazaniu Ci prawidłowych równań nadal nie wiesz dlaczego pojawia się składnik ,,i2y' to jestem do tego zmuszony.

Skoro już to wiesz to wracajmy do zadania. Utknąłeś na:

\(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2} = \left( 3+i\left(2y-4 \right)\right) ^{2}}\)
Jak będzie dalej?

Podnieś prawą stronę do kwadratu. (a piszę tę wskazówkę aby nie pojawiły się takie magiczne przekształcenia jak te które są pod kreską w Twoim temacie)
Więc jak będzie dalej?

[Gohan]

nie rozumiem tylko tego typu zadań z liczb zespoloych

[kerajs]

Przecież dobrze je zacząłeś. Wprowadziłeś postać ogólną gdzie x i y (częściej a i b) będące liczbami rzeczywistymi opisują liczbę zespoloną.

Gdybyś nie robił błędów to ostatecznie porównać musisz liczby zespolone z prawej i lewej strony równania. Tworzy to układ równań . Jedno z równań porównuje części rzeczywiste, a drugie części urojone.

W Twoim przykładzie :

\(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2} = \left( 3+i\left(2y-4 \right)\right) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2} = 9+2 \cdot 3 \cdot i\left(2y-4 \right)\right) ^{2}+i ^{2} \left(2y-4 \right)\right) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2} = 9+i6\left(2y-4 \right)\right) ^{2}- \left(2y-4 \right)\right) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2} = 9+i6\left(2y-4 \right)\right) ^{2}- 4y^{2}+16y-16}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2} = - 4y^{2}+16y-7+i6\left(2y-4 \right)\right) ^{2}}\)

Osobno porównujesz części rzeczywiste (pierwsze równanie) i części urojone (drugi równanie).
\(\displaystyle{ \begin{cases}x ^{2}+y ^{2} = - 4y^{2}+16y-7\\0=6\left(2y-4 \right)\right) ^{2}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}x ^{2}+y ^{2} = - 4y^{2}+16y-7\\y=2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}x ^{2}+2 ^{2} = - 4 \cdot 2^{2}+16 \cdot 2-7\\y=2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}x ^{2}=5\\y=2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}x = \pm \sqrt{5} \\y=2\end{cases}}\)

Twoje równanie spełniają dwie liczby zespolone \(\displaystyle{ \sqrt{5} +i2}\) oraz \(\displaystyle{ -\sqrt{5} +i2}\)

[yorgin]

Strasznie długie rozwiązanie...

\(\displaystyle{ \overline{z}-z=-2\Im z}\)

Stąd

\(\displaystyle{ |z|-2\Im z=3-4i}\)

I porównując części urojone mamy \(\displaystyle{ \Im z=2}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt{(\Re z)^2+4}=3}\), czyli \(\displaystyle{ \Re z =\sqrt{5}\vee \Re z=-\sqrt{5}}\).

Ostatecznie \(\displaystyle{ z=\sqrt{5}+2i\vee z=-\sqrt{5}+2i}\).