Dowód z postacią trygonometryczną

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Erion123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 13 paź 2013, o 14:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 1 raz

Dowód z postacią trygonometryczną

Post autor: Erion123 »

Niech \(\displaystyle{ w = \cos\left( \frac{2 \pi }{5} \right) + i\sin\left( \frac{2 \pi }{5} \right)}\)

Wykaż, że \(\displaystyle{ w + w^4 -w^2 -w^3 = \sqrt5}\)
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

Dowód z postacią trygonometryczną

Post autor: robertm19 »

Po zastosowaniu wzorów de Moivrea mamy
\(\displaystyle{ \cos\left( \frac{2 \pi }{5} \right) + i\sin\left( \frac{2 \pi }{5} \right)+\cos\left( \frac{8 \pi }{5} \right) + i\sin\left( \frac{8 \pi }{5} \right)-\cos\left( \frac{4 \pi }{5} \right) -i\sin\left( \frac{4 \pi }{5} \right)-\cos\left( \frac{6 \pi }{5} \right) - i\sin\left( \frac{6 \pi }{5} \right)}\)
Zauważmy, że *\(\displaystyle{ \cos \frac{4 \pi}{5} =\cos \frac{6 \pi}{5}}\),\(\displaystyle{ \cos \frac{2 \pi}{5} =\cos \frac{8 \pi}{5}}\) oraz
\(\displaystyle{ \sin \frac{4 \pi}{5} =-\sin \frac{6 \pi}{5}}\),\(\displaystyle{ \sin\frac{2 \pi}{5} =-\sin \frac{8 \pi}{5}}\)
Zatem z równania dostajemy
\(\displaystyle{ 2\cos \frac{2 \pi}{5} -2\cos \frac{4 \pi}{5}=2\cos \frac{2 \pi}{5}-2(2\cos^2 \frac{2 \pi}{5}-1)}\)
Rozważmy teraz równanie \(\displaystyle{ z^5=1}\). Ze wzorów Viety wiemy, że suma pierwiastków równa się zero.
Zatem, także część rzeczywista:
\(\displaystyle{ 1+\cos \frac{2 \pi}{5} +\cos \frac{4 \pi}{5}+\cos \frac{6 \pi}{5} +\cos \frac{8 \pi}{5} =0}\)biorąc pod uwagę * i \(\displaystyle{ \cos \frac{4 \pi}{5} =2 \cos^2 \frac{2 \pi}{5} -1}\)
otrzymujemy równanie \(\displaystyle{ 4x^2+2x-1=0}\), gdzie \(\displaystyle{ x=\cos(\frac{2}{5}\pi)}\).
Z tego wyliczamy \(\displaystyle{ \cos \frac{2 \pi}{5} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}}}\) i podstawiamy do
tego gdzie skończyliśmy
\(\displaystyle{ 2 \frac{\sqrt{5}-1}{4}}-4\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}}\right)^2+2=\sqrt{5}}\)
ODPOWIEDZ