Iloczyn pierwiastków n-tego stopnia z jedynki

[Justme188]

Jak w temacie. Oblicz iloczyn pierwiastków n-tego stopnia z jedynki... Tu chodzi o pierwiastki zespolone? Tak? Ktoś może mi pomóc?

[yorgin]

Tak, chodzi o pierwiastki zespolone.

Zapisz je w postaci wykładniczej - iloczyn zamienisz na sumę.

[Justme188]

Hmmm... czyli ze wzoru : \(\displaystyle{ z=re^{i* \alpha }}\)?
To alpha to fi

[yorgin]

Hmmm... czyli ze wzoru : \(\displaystyle{ re^{i \cdot \alpha }}\)?

Ja bym tego wzorem nie nazywał, ale tak, o to chodzi.

To alpha to fi

Aha.. Co stoi na przeszkodzie, by kąt oznaczać przez \(\displaystyle{ \alpha}\)? \(\displaystyle{ \varphi}\) to nie jedyna możliwa literka grecka mogąca oznaczać kąt.

[Justme188]

No tak alpha jest mi nawet bliższa Tylko że nie wiem jak zacząć to rozpisywać...
Po prostu \(\displaystyle{ z_{0}\cdot z _{1} \cdot ... \cdot ...}\) i tak dalej?
I korzystać że \(\displaystyle{ z_{0}=1}\)? I później że \(\displaystyle{ z _{2}=\left( z _{1}\right) ^{2}}\)
i tak dalej?-- 2 lis 2013, o 20:31 --I jak mam to później zamienić na sumę?

[yorgin]

Zacznij od wypisania wszystkich pierwiastków stopnia \(\displaystyle{ n}\) z jedynki. W postaci, jaką zasugerowałem.

[Justme188]

No to ja próbuję tak: \(\displaystyle{ \left(( z _{1} \right) ^{0} \right) \left \cdot\left((z _{1} \right) ^{1} \cdot ... \cdot \left( z _{1}\right) ^{n-1})}\) czyli że to będzie \(\displaystyle{ e ^{0} \cdot \left( r \cdot e ^{i \cdot \alpha }\right) \cdot r ^{2} \cdot \left( e ^{2 \cdot i \alpha } \right) \cdot ... \cdot}\) i tak dalej?

[yorgin]

Źle.

Jeżeli chcesz tak liczyć, to musisz mieć \(\displaystyle{ z_1}\) w postaci jawnej. A tego nie masz.

Potrzebujesz jawnej postaci wykładniczej.

[Spektralny]

Można to zrobić inaczej:

Pierwiastki jedynki stopnia \(\displaystyle{ n}\) to pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ f(x)=x^n - 1\in \mathbb{C}[x]}\). Interesuje nas iloczyn wszystkich jego pierwiastków.

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Wzory_Vi%C3%A8te%E2%80%99a

mówią nam, że iloczyn ten wynosi dokładnie

\(\displaystyle{ (-1)^n\cdot \frac{-1}{1} = (-1)^{n+1)}\).

[Justme188]

Czyli że wynik to \(\displaystyle{ (-1) ^{n+1}}\) ?

A co do tego pierwszego sposobu to może jeszcze jakaś wskazówka?

[Spektralny]

Literówka mi się wkradła w mojej poprzedniej odpowiedzi. Tak, \(\displaystyle{ (-1)^{n+1}}\). Można jeszcze inaczej:

Jedyne dwie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x}\) dla których \(\displaystyle{ x^n=1}\) to \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\) gdy \(\displaystyle{ n}\) parzyste i \(\displaystyle{ x=1}\), gdy \(\displaystyle{ n}\) nieparzyste. Każdy inny pierwiastek z jedynki jest liczbą zespoloną, która nie jest rzeczywista. Zauważmy, że jeżeli \(\displaystyle{ z}\) jest takim właśnie pierwiastkiem, to również jego sprzężenie \(\displaystyle{ \overline{z}}\) jest pierwiastkiem z jedynki oraz \(\displaystyle{ z\overline{z}=|z|^2=1}\). Oznacza to, że gdy \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, to wszystkie pierwiastki z jedynki są postaci

\(\displaystyle{ 1, z_1, \ldots, z_{\frac{n-1}{2}}, \overline{z_1},\ldots \overline{, z_{\frac{n-1}{2}}}}\)

Oznacza to, że ich iloczyn wynosi 1.

Gdy \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste, to wszystkie pierwiastki są postaci

\(\displaystyle{ 1, -1, z_1, \ldots, z_{\frac{n-2}{2}}, \overline{z_1},\ldots \overline{, z_{\frac{n-2}{2}}}}\)

a więc ich iloczyn wnosi \(\displaystyle{ -1}\).

[yorgin]

A co do tego pierwszego sposobu to może jeszcze jakaś wskazówka?

Wskazówek dałem Ci już wystarczająco.

Prosiłem o wypisanie wszystkich pierwiastków stopnia \(\displaystyle{ n}\) z jedynki, czego nie widzę. Nie chodziło mi o żadne \(\displaystyle{ z_1, z_1^2}\) itp, tylko o jawne postaci. To nie wymaga aż tak wielkiego myślenia.