Trójkąt foremny o środku w zerze.

[gabrysia512]

Witam! Bardzo proszę o pomoc z zadaniem:
Udowodnić, że \(\displaystyle{ |x|=|y|=|z|}\) oraz \(\displaystyle{ x+y+z=0}\) wtedy i tylko wtedy gdy punkty płaszczyzny odpowiadające liczbom zespolonym \(\displaystyle{ x, y, z}\) tworzą trójkąt foremny, w którym punkt przecięcia się wysokości tego trójkąta znajduje się w zerze.

[bartek118]

W prawo implikacja jest trywialna. W lewo natomiast - ustal punkt \(\displaystyle{ x}\), narysuj okrąg o środku w \(\displaystyle{ 0}\) i promieniu \(\displaystyle{ |x|}\). Punkty \(\displaystyle{ x,y}\) leżą na tym okręgu - tyle mówi pierwsza zależność. Spróbuj teraz dokonstruować pozostałe punkty - policz długości \(\displaystyle{ |x-y|, |z-y|, |y-z|}\). Gdy udowodnisz, że odległości te są równe, to udowodnisz twierdzenie.

[gabrysia512]

"W prawo implikacja jest trywialna." - Cóż najwidoczniej dla mnie nie jest. Wiem, że leżą na tym samym okręgu, o promieniu \(\displaystyle{ |x|}\). Nie wiem co mam zrobić z \(\displaystyle{ x+y+z=0}\).
"Spróbuj teraz dokonstruować pozostałe punkty - policz długości |x-y|, |z-y|, |y-z|." - Dokonstruować - rozumiem, że powinnam zauważyć coś czego nie widzę. Co mam podstawić za x, y i z?

[bartek118]

"W prawo implikacja jest trywialna." - Cóż najwidoczniej dla mnie nie jest. Wiem, że leżą na tym samym okręgu, o promieniu \(\displaystyle{ |x|}\). Nie wiem co mam zrobić z \(\displaystyle{ x+y+z=0}\).
"Spróbuj teraz dokonstruować pozostałe punkty - policz długości |x-y|, |z-y|, |y-z|." - Dokonstruować - rozumiem, że powinnam zauważyć coś czego nie widzę. Co mam podstawić za x, y i z?

Dokonstruować - w sensie wyobrazić je sobie. Po prostu - załóżmy, że mamy równości z założenia i udowodnij, że długości, które Ci podałem są równe.

Co do implikacji w prawo - jaki masz z nią problem? To, że te punkty leżą na tym samym okręgu o środku w \(\displaystyle{ 0}\) jest oczywiste. Tak samo oczywiste jest, że sumują się do zera (jako, że tworzą trójkąt równoboczny).

[gabrysia512]

Ok, dziękuję za pomoc - teraz już wszystko jasne .