Postać trygonometryczna l.zespolonej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
VGkrzysiek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 25 paź 2012, o 13:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kłodzko
Podziękował: 3 razy

Postać trygonometryczna l.zespolonej

Post autor: VGkrzysiek »

Mam do rozwiązania takie zadanie:

1. Przedstawić w postaci trygonometrycznej:
a) \(\displaystyle{ 2+ \sqrt{3} + i}\)

Natomiast nie wiem co zrobić dalej, gdy wychodzi mi dziwny moduł z liczby z, czyli:

\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{\left( 2+ \sqrt{3} \right)^2 +1^2 } = \sqrt{4+4 \sqrt{3} + 4} = \sqrt{8 + 4 \sqrt{3} }}\) ...

i w tym miejscu się zatrzymałem, nie wiem jak to dalej przekształcić żeby wyliczyć \(\displaystyle{ cos \phi}\). Próbowałem zapisywać w postaci potęgi a także zamienić na wzór skróconego mnożenia ale bezskutecznie.

Z góry dzięki za odpowiedź.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Postać trygonometryczna l.zespolonej

Post autor: yorgin »

VGkrzysiek pisze: \(\displaystyle{ \sqrt{8 + 4 \sqrt{3} }}\) ...
\(\displaystyle{ =\sqrt{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2}=\ldots}\)
Awatar użytkownika
VGkrzysiek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 25 paź 2012, o 13:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kłodzko
Podziękował: 3 razy

Postać trygonometryczna l.zespolonej

Post autor: VGkrzysiek »

Ok, dzięki. Wyszły mi następującego wyniki:

\(\displaystyle{ \cos \phi = \frac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} }{4}}\)
\(\displaystyle{ \sin \phi= \frac{ \sqrt{2} - \sqrt{6} }{4}}\)

Wiem że to jest IV ćwiartka i co w takim przypadku należy zrobić, bo ciężko tutaj obliczyć kąt.

-- 2 lis 2013, o 14:12 --

Skorzystałem z funkcji podwojonego kąta i wyszedł następujący wynik:

\(\displaystyle{ z= \sqrt{6} + \sqrt{2} \left( \cos \frac{5}{12} \pi + i\sin \frac{5}{12} \pi \right)}\)
Ostatnio zmieniony 2 lis 2013, o 13:33 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Postać trygonometryczna l.zespolonej

Post autor: yorgin »

VGkrzysiek pisze: \(\displaystyle{ \cos \phi = \frac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} }{4}}\)
\(\displaystyle{ \sin \phi= \frac{ \sqrt{2} - \sqrt{6} }{4}}\)
Cosinus jest ok, ale przy sinusie w liczniku znaki są "na odwrót".
VGkrzysiek pisze: Skorzystałem z funkcji podwojonego kąta i wyszedł następujący wynik:

\(\displaystyle{ z= \sqrt{6} + \sqrt{2} \left( \cos \frac{5}{12} \pi + i\sin \frac{5}{12} \pi \right)}\)
A tutaj z kolei brakuje nawiasu. Mnożysz cały moduł przez cosinusy i sinusy, a nie tylko \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\).

Poza tymi uwagami jest ok.
ODPOWIEDZ