Wielomian nad ciałem liczb zespolonych

Kacper20 · Post autor: **Kacper20** » 29 paź 2013, o 15:00

Witam, mam zadanie:
Czy wielomian stopnia 123 nad ciałem liczb zespolonych o współczynnikach rzeczywistych moze miec dokładnie dwa rózne pierwiastki rzeczywiste?

I tak się zastanawiam: Pierwiastków nierzeczywistych musi być liczba parzysta - pierwiastek i jego sprzężenie. W takim razie mam powiedzmy 120 takich pierwiastków.
Zostają mi pierwiastki rzeczywiste. Muszą być dwa różne, w takim razie wskazuję je:
\(\displaystyle{ \left( x-1\right) ^{2}x}\). Czy jest to dobrze rozwiązane pod względem merytorycznym?
Pozdrawiam!

Post autor: **Chromosom** » 29 paź 2013, o 15:05

Zgadza się.

Kacper20 · Post autor: **Kacper20** » 29 paź 2013, o 15:09

Mam jeszcze pytanie dot. podobnego zadania:
Czy wielomian stopnia 5 o współczynnikach rzeczywistych może mieć mniej niż trzy różne pierwiastki zespolone, z czego co najmniej jeden nierzeczywisty?
Nie do końca rozumiem treść zadania. Mógłbyś może pomóc?

Post autor: **Chromosom** » 29 paź 2013, o 15:19

Trzy pierwiastki należą do zbioru \(\displaystyle{ \mathbb C}\) (czyli niektóre mogą być rzeczywiste), ale co najmniej jeden z nich musi należeć do zbioru \(\displaystyle{ \mathbb C\setminus\mathbb R}\).

Kacper20 · Post autor: **Kacper20** » 29 paź 2013, o 21:27

Jeszcze jedno pytanie może bardziej dot formalizmu. Czy jeśli mam pierwiastki takie, jak podałem w 1 poście to mówimy o dwóch pierwiastkach różnych z czego jeden jest podwójny, czy jak? Może 3 pierwiastki z czego dwa takie same? W drugim wariancie to chyba niszczy mi zadanie?

Pozdrawiam