Krótka tożsamość z cosinusem

[rafalrutkowski92]

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ z + z^{-1} = 2 \cos y}\)
to \(\displaystyle{ z^{n} + z^{-n} = 2 \cos ny}\)

[bartek118]

Myślę, że trzeba w sprytny sposób skorzystać ze wzoru de Moivre'a.

[yorgin]

Ja myślę, że wystarczy zwykła indukcja ze względu na \(\displaystyle{ n}\). Krok indukcyjny korzysta ze wzoru na cosinus sumy i różnicy kątów.

[Lider_M]

\(\displaystyle{ z=r(\cos\phi+i\sin\phi)}\)
Stąd i z de Moivre'a:
\(\displaystyle{ z+z^{-1}=2r\cos\phi}\)
Stąd wynika, że \(\displaystyle{ r=1,\phi=y}\).
Wtedy również z de Moivre'a:
\(\displaystyle{ z^n+z^{-n}=2\cos ny}\).