Ciekawa suma iloczynu pierwiastków z 1

[rafalrutkowski92]

Niech \(\displaystyle{ a_{i}}\) dla \(\displaystyle{ i=0,....,n-1}\) będą wszystkimi pierwiastkami z 1. Wykaż, że:



\(\displaystyle{ \sum_{0 \le i_{1} \le i_{2} \le n-1}^{} a_{i_{1}} \cdot a_{i_{2}} = 0}\)


oraz


\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{a_{i}} = 0}\)


Wskazówka: Skorzystaj z tożsamości, że suma wszystkich pierwiastków z 1 wynosi 0.

[brzoskwinka1]

\(\displaystyle{ \sum_{0 \le i_{1} \le i_{2} \le n-1}^{} a_{i_{1}} \cdot a_{i_{2}} = (a_0 +a_1 +...+ a_{n-1} )^2 =0}\)

\(\displaystyle{ \sum_{0 \le i\le n-1} \frac{1}{a_i } =\sum_{0 \le i \le n-1} \frac{\overline{ a_i }}{|a_i |^2 } =\overline{\sum_{0 \le i \le n-1} } a_i } =0}\)

[timon92]

ta pierwsza suma się tak nie zwija

[brzoskwinka1]

ta pierwsza suma się tak nie zwija

Dlaczego?

Aha chyba widzę powinno być

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} (a_0^2 +...a_{n-1}^2 + (a_0 +...a_{n-1} )^2 )}\)
Ale to też będzie \(\displaystyle{ 0}\) bo \(\displaystyle{ a_k^2 =a_{2k (\mbox{mod } (n-1))}}\)