Niech \(\displaystyle{ a_{i}}\) dla \(\displaystyle{ i=0,....,n-1}\) będą wszystkimi pierwiastkami z 1. Wykaż, że:
\(\displaystyle{ \sum_{0 \le i_{1} \le i_{2} \le n-1}^{} a_{i_{1}} \cdot a_{i_{2}} = 0}\)
oraz
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{a_{i}} = 0}\)
Wskazówka: Skorzystaj z tożsamości, że suma wszystkich pierwiastków z 1 wynosi 0.
Ciekawa suma iloczynu pierwiastków z 1
-
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 26 lut 2011, o 14:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ełk
- Podziękował: 10 razy
Ciekawa suma iloczynu pierwiastków z 1
Ostatnio zmieniony 28 paź 2013, o 23:57 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Ciekawa suma iloczynu pierwiastków z 1
\(\displaystyle{ \sum_{0 \le i_{1} \le i_{2} \le n-1}^{} a_{i_{1}} \cdot a_{i_{2}} = (a_0 +a_1 +...+ a_{n-1} )^2 =0}\)
\(\displaystyle{ \sum_{0 \le i\le n-1} \frac{1}{a_i } =\sum_{0 \le i \le n-1} \frac{\overline{ a_i }}{|a_i |^2 } =\overline{\sum_{0 \le i \le n-1} } a_i } =0}\)
\(\displaystyle{ \sum_{0 \le i\le n-1} \frac{1}{a_i } =\sum_{0 \le i \le n-1} \frac{\overline{ a_i }}{|a_i |^2 } =\overline{\sum_{0 \le i \le n-1} } a_i } =0}\)
Ciekawa suma iloczynu pierwiastków z 1
Dlaczego?timon92 pisze:ta pierwsza suma się tak nie zwija
Aha chyba widzę powinno być
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} (a_0^2 +...a_{n-1}^2 + (a_0 +...a_{n-1} )^2 )}\)
Ale to też będzie \(\displaystyle{ 0}\) bo \(\displaystyle{ a_k^2 =a_{2k (\mbox{mod } (n-1))}}\)