cdot Jak geometrycznie zainterpretować następujące równości?
a) \(\displaystyle{ Arg({z}^{6})={\pi}}\)
b) \(\displaystyle{ (x-3)^{2} + (y-5)^{2} = 25}\)
c) \(\displaystyle{ |z|^{5}=z^{5}(2+2i)}\)
gdzie: \(\displaystyle{ x, y, z}\) - liczby zespolone.
Interpretacja geometryczna równości.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Interpretacja geometryczna równości.
Ad a)
niech
\(\displaystyle{ z=\left| z\right| \left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right)}\)
\(\displaystyle{ z ^{6} =\left| z\right| ^{6} \left(\cos 6 \alpha +i\sin 6\alpha \right)}\)
A dokładniej
\(\displaystyle{ z ^{6} =\left| z\right| ^{6} \left(\cos \left( 6 \alpha +k2 \pi \right)+i\sin\left( 6\alpha+k2 \pi \right)\right)}\)
Skoro
\(\displaystyle{ Arg({z}^{6})={\pi}}\)
to
\(\displaystyle{ 6 \alpha +k2 \pi = \pi}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{k2 \pi+ \pi }{6} \wedge\left| z\right| \in R}\)
Wstawiając za k liczby -2,-1,0,1,2,3 otrzymasz sześć różnych kątów.
Są to ....., ......, ......, ......, ....., ..
Rozwiązaniem jest sześć prostych przechodzących przez środek płaszczyzny Gaussa nachylonych do dodatniej półosi Re(z) pod obliczonymi powyżej kątami.
Ad b) Nie wiem . Napisz kolejny post tylko z tym zadaniem
Ad c)
\(\displaystyle{ |z|^{5}=z^{5}(2+2i)}\)
\(\displaystyle{ |z|^{5}=\left| z\right|\left ^{5} ( \cos5 \alpha +i\sin5 \alpha \right) \cdot 2 \sqrt{2}\left( \cos \frac{ \pi }{4} +i\sin\frac{ \pi }{4} \right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2 \sqrt{2} } =\cos\left( 5 \alpha + \frac{ \pi }{4} \right) +i\sin\left( 5 \alpha + \frac{ \pi }{4} \right)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos\left( 5 \alpha + \frac{ \pi }{4} \right)=\frac{1}{2 \sqrt{2} }\\\sin\left( 5 \alpha + \frac{ \pi }{4} \right)=0\end{cases}}\)
Łatwo sprawdzić (np. jedynka trygonometryczną) że układ ten, a więc i pierwotne równanie nie ma rozwiązania.
niech
\(\displaystyle{ z=\left| z\right| \left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right)}\)
\(\displaystyle{ z ^{6} =\left| z\right| ^{6} \left(\cos 6 \alpha +i\sin 6\alpha \right)}\)
A dokładniej
\(\displaystyle{ z ^{6} =\left| z\right| ^{6} \left(\cos \left( 6 \alpha +k2 \pi \right)+i\sin\left( 6\alpha+k2 \pi \right)\right)}\)
Skoro
\(\displaystyle{ Arg({z}^{6})={\pi}}\)
to
\(\displaystyle{ 6 \alpha +k2 \pi = \pi}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{k2 \pi+ \pi }{6} \wedge\left| z\right| \in R}\)
Wstawiając za k liczby -2,-1,0,1,2,3 otrzymasz sześć różnych kątów.
Są to ....., ......, ......, ......, ....., ..
Rozwiązaniem jest sześć prostych przechodzących przez środek płaszczyzny Gaussa nachylonych do dodatniej półosi Re(z) pod obliczonymi powyżej kątami.
Ad b) Nie wiem . Napisz kolejny post tylko z tym zadaniem
Ad c)
\(\displaystyle{ |z|^{5}=z^{5}(2+2i)}\)
\(\displaystyle{ |z|^{5}=\left| z\right|\left ^{5} ( \cos5 \alpha +i\sin5 \alpha \right) \cdot 2 \sqrt{2}\left( \cos \frac{ \pi }{4} +i\sin\frac{ \pi }{4} \right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2 \sqrt{2} } =\cos\left( 5 \alpha + \frac{ \pi }{4} \right) +i\sin\left( 5 \alpha + \frac{ \pi }{4} \right)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos\left( 5 \alpha + \frac{ \pi }{4} \right)=\frac{1}{2 \sqrt{2} }\\\sin\left( 5 \alpha + \frac{ \pi }{4} \right)=0\end{cases}}\)
Łatwo sprawdzić (np. jedynka trygonometryczną) że układ ten, a więc i pierwotne równanie nie ma rozwiązania.