Interpretacja geometryczna równości.

[bobofruit]

cdot Jak geometrycznie zainterpretować następujące równości?
a) \(\displaystyle{ Arg({z}^{6})={\pi}}\)
b) \(\displaystyle{ (x-3)^{2} + (y-5)^{2} = 25}\)
c) \(\displaystyle{ |z|^{5}=z^{5}(2+2i)}\)
gdzie: \(\displaystyle{ x, y, z}\) - liczby zespolone.

[kerajs]

Ad a)
niech
\(\displaystyle{ z=\left| z\right| \left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right)}\)
\(\displaystyle{ z ^{6} =\left| z\right| ^{6} \left(\cos 6 \alpha +i\sin 6\alpha \right)}\)
A dokładniej
\(\displaystyle{ z ^{6} =\left| z\right| ^{6} \left(\cos \left( 6 \alpha +k2 \pi \right)+i\sin\left( 6\alpha+k2 \pi \right)\right)}\)
Skoro
\(\displaystyle{ Arg({z}^{6})={\pi}}\)
to
\(\displaystyle{ 6 \alpha +k2 \pi = \pi}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{k2 \pi+ \pi }{6} \wedge\left| z\right| \in R}\)
Wstawiając za k liczby -2,-1,0,1,2,3 otrzymasz sześć różnych kątów.
Są to ....., ......, ......, ......, ....., ..
Rozwiązaniem jest sześć prostych przechodzących przez środek płaszczyzny Gaussa nachylonych do dodatniej półosi Re(z) pod obliczonymi powyżej kątami.

Ad b) Nie wiem . Napisz kolejny post tylko z tym zadaniem

Ad c)
\(\displaystyle{ |z|^{5}=z^{5}(2+2i)}\)
\(\displaystyle{ |z|^{5}=\left| z\right|\left ^{5} ( \cos5 \alpha +i\sin5 \alpha \right) \cdot 2 \sqrt{2}\left( \cos \frac{ \pi }{4} +i\sin\frac{ \pi }{4} \right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2 \sqrt{2} } =\cos\left( 5 \alpha + \frac{ \pi }{4} \right) +i\sin\left( 5 \alpha + \frac{ \pi }{4} \right)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos\left( 5 \alpha + \frac{ \pi }{4} \right)=\frac{1}{2 \sqrt{2} }\\\sin\left( 5 \alpha + \frac{ \pi }{4} \right)=0\end{cases}}\)
Łatwo sprawdzić (np. jedynka trygonometryczną) że układ ten, a więc i pierwotne równanie nie ma rozwiązania.