Równania zespolone

[ZaKooN]

e) \(\displaystyle{ z^6=(1-i)^{12}}\)

f) \(\displaystyle{ (z-i)^4=(z+i)^4}\)

[robertm19]

e) postać trygonometryczna i wzory na potęgowanie.
f) wymnożyć obie strony, potem dosyć fajnie się skraca równanie.

[ZaKooN]

e) postać trygonometryczna i wzory na potęgowanie.
f) wymnożyć obie strony, potem dosyć fajnie się skraca równanie.

to znaczy jak wymnożyć?

[robertm19]

Podnieść do czwartej potęgi.

[xqwzts251]

Ad f)

Co nam da obustronne podniesienie równania do potęgi 4? Mógłbym prosić o wytłumaczenie?

[robertm19]

Skrócą się niektóre potęgi i otrzymasz równanie \(\displaystyle{ z^3-z=0}\), które jest już łatwo rozwiązać.

[yorgin]

e) \(\displaystyle{ z^6=(1-i)^{12}}\)

f) \(\displaystyle{ (z-i)^4=(z+i)^4}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ a^n=b^{nk}}\), to \(\displaystyle{ a=\varepsilon_n b^k}\), gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon_n=\sqrt[n]{1}}\). Nie trzeba więc nic podnosić do potęgi. W e) zadziała to bezpośrednio, natomiast w f) proponuję podzielić przez wyrażenie po prawej stronie.

[ZaKooN]

e) \(\displaystyle{ z^6=(1-i)^{12}}\)

f) \(\displaystyle{ (z-i)^4=(z+i)^4}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ a^n=b^{nk}}\), to \(\displaystyle{ a=\varepsilon_n b^k}\), gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon_n=\sqrt[n]{1}}\). Nie trzeba więc nic podnosić do potęgi. W e) zadziała to bezpośrednio, natomiast w f) proponuję podzielić przez wyrażenie po prawej stronie.

czyli jak rozumiem z pierwszego mi wyjdzie \(\displaystyle{ z=(1-i)^{2}}\) tak?

[yorgin]

czyli jak rozumiem z pierwszego mi wyjdzie \(\displaystyle{ z=(1-i)^{2}}\) tak?

Czytaj ze zrozumieniem. Nie wyjdzie tyle, co napisałeś (bo to, co napisałeś, to tylko jedno z sześciu rozwiązań).

[ZaKooN]

czyli jak rozumiem z pierwszego mi wyjdzie \(\displaystyle{ z=(1-i)^{2}}\) tak?

Czytaj ze zrozumieniem. Nie wyjdzie tyle, co napisałeś (bo to, co napisałeś, to tylko jedno z sześciu rozwiązań).

Ok, już rozumiem. A co jeżeli chodzi o drugi przykład?

[yorgin]

natomiast w f) proponuję podzielić przez wyrażenie po prawej stronie.

Potem pierwiastkujesz jedynkę i przeliczasz \(\displaystyle{ z}\)

[lavv]

czyli jak rozumiem z pierwszego mi wyjdzie \(\displaystyle{ z=(1-i)^{2}}\) tak?

Czytaj ze zrozumieniem. Nie wyjdzie tyle, co napisałeś (bo to, co napisałeś, to tylko jedno z sześciu rozwiązań).

Nie rozumiem skąd się weźmie 6 rozwiązań, mógłby ktoś wyjaśnić?

[yorgin]

Rozwiązania są postaci \(\displaystyle{ z_k=e^{\frac{2k\pi i}{6}}(1-i)^2}\) dla \(\displaystyle{ k=0,\ldots ,5}\). Sprawdź sobie, że to rzeczywiście działa.

[ZaKooN]

Czyli ile beda wynosic wszystkie szesc pierwiastkow?

[yorgin]

Policz sobie. To nie jest trudne szczególnie, że wszystko potrzebne podałem.