równanie + zamiana liczby zespolonej na inne postacie

[glebocky]

Witam serdecznie.
Mam mały problem co do dwóch zadań. Nie potrafię wpaść na pomysł rozwiązania ich. Proszę o naprowadzenie mnie na prawidłowy tok myślenia

Zadanie 1.
Podaną liczbę zespoloną zapisać w postaci algebraicznej, trygonometrycznej i wykładniczej.
\(\displaystyle{ z= \frac{1}{2} \left( \sin \frac{1}{2} + j \cdot \cos \frac{1}{2} \right)}\)

Zadanie 2.
Rozwiązać podane równanie:
\(\displaystyle{ \cos x+j \cdot \sin x= \frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot j}\)

jeżeli
\(\displaystyle{ A) x \in R}\)

\(\displaystyle{ B) x \in C}\)-- 27 paź 2013, o 13:58 --Czy zadanie 1. można zrobić w ten sposób? Korzystałem ze wzorów Eulera.

\(\displaystyle{ z= \frac{1}{2} \left( \sin \frac{1}{2} + j \cdot \cos \frac{1}{2} \right)= \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{e^{ \frac{j}{2} } - e^{ -\frac{j}{2} }}{2j} + j \cdot \frac{ e^{ \frac{j}{2} }+ e^{ -\frac{j}{2} } }{2} \right)}\)

co po sprowadzeniu w nawiasie do wspólnego mianownika i redukcji wyrazów dało mi odpowiedź końcową:

\(\displaystyle{ - \frac{1}{2j} \cdot e^{- \frac{j}{2} }}\)

jest to postać wykładnicza liczby zespolonej, z tym, że:

\(\displaystyle{ \left| z\right| = - \frac{1}{2j}= \frac{ j^{2} }{2j} = \frac{j}{2}}\)

więc:

postać algebraiczna jest taka sama jak podana w zadaniu
postać trygonometryczna: \(\displaystyle{ z= \frac{j}{2} \cdot \left( \cos \left( -\frac{1}{2} \right) + j \cdot \sin \left( - \frac{1}{2} \right) \right)}\)
postać wykładnicza: \(\displaystyle{ z= \frac{j}{2} \cdot e^{ j \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) }}\)

[scyth]

W drugim zadaniu powinieneś zacząć od wyznaczenia kąta - jest to o tyle proste, że masz podane wartości funkcji trygonometrycznych.

Natomiast co do pierwszego - jesteś pewien, że argumentem funkcji trygonometrycznej powinno być \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) a nie np. \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)?

[glebocky]

Właśnie problem w tym, że nie wiem jak. Zamieniłem na postać trygonometryczną liczbę zespoloną po prawej stronie, ale wyszedł mi dziwny \(\displaystyle{ \sin}\) i \(\displaystyle{ \cos}\) z \(\displaystyle{ \sqrt{13}}\) w liczniku i nie potrafię tego dalej policzyć.

A w drugim zadaniu mam 100% pewności, pewnie tą \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) należy traktować jako parametr.

[scyth]

fPorównaj części rzeczywiste i urojone. Zauważ, że masz:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos x = \frac{1}{2} \\ \sin x = \frac{3}{4} \end{cases}}\)
więc z tego wynika, że \(\displaystyle{ x=...?}\)

[glebocky]

\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}}\) ?

[scyth]

No nie bardzo. Podpowiedź - czy takie \(\displaystyle{ x}\) w ogóle może istnieć? I jeśli nie to dlaczego?

[glebocky]

Nie może istnieć, ponieważ przy takich wartościach sinusa i cosinusa nie jest spełniona jedynka trygonometryczna. I mam rozumieć, że to jest odpowiedź do ppkt. B?
Jeśli chodzi o ppkt. A to wystarczy, że przyrównam tylko część rzeczywistą do \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i opuszczam część urojoną?

[scyth]

Czy w drugim zadaniu odpowiedź b oznacza zbiór liczb całkowitych czy zespolonych? Bo jeśli zespolonych to może istnieć odpowiedź.
W pierwszym zadaniu masz podaną postać trygonometryczną. Jak ją zamienić na inne opisane jest tutaj:
page.php?p=kompendium-liczby-zespolone

[glebocky]

Oznacza zbiór liczb zespolonych.

Boże, ja już się pogubiłem... Chyba jednak w podanej stronce nie znajdę innej niż moja odpowiedzi do zadania 1.

[Kartezjusz]

Jak się nie mylę dla zespolonych też działa jedynka trygonometryczna, ale na drugim miejscu masz minus.

[scyth]

Kartezjusz no jasne że tak, jedynka jest prawdziwa też dla argumentów zespolonych.

A co do zadania 1 to zacznij od nowa. Jak napisałem, masz podaną postać trygonometryczną. Zajrzyj na link do kompendium i tam masz napisane jak z niej zrobić pozostałe.