dowód na istnienie pierwiastków

MikolajB · Post autor: **MikolajB** » 25 paź 2013, o 20:45

witam, mam takie zadanie:
przedstawić dowód, że istnienie rozwiązania równania $\displaystyle{ ax^{2} + bx + c = 0}$ jest równoważne temu, że $\displaystyle{ b^2-4ac}$ posiada pierwiastek.

Post autor: **Chromosom** » 25 paź 2013, o 20:50

Pierwszy przypadek: $\displaystyle{ a=0}$.
Drugi przypadek: $\displaystyle{ a\neq0}$ - podziel stronami przez $\displaystyle{ a}$ i zastosuj wzory skróconego mnożenia.

MikolajB · Post autor: **MikolajB** » 26 paź 2013, o 11:16

Jeśli dobrze zrozumiałem to co mam zrobić, to po przekształceniach dostaję postać:
$\displaystyle{ a\left( x- \frac{-b+ \sqrt{b ^{2}-4ac } }{2a} \right)\left( x- \frac{-b- \sqrt{b ^{2}-4ac } }{2a} \right)}$

i co dalej zrobić z $\displaystyle{ \sqrt{b ^{2}-4ac }}$?
wystarczy jakiś komentarz czy coś jeszcze trzeba przekształcać?

Post autor: **Dasio11** » 26 paź 2013, o 13:05

Musisz się zatrzymać trochę wcześniej. Przekształcenia chcesz wykonać tak daleko, jak się da, bez żadnych założeń (a dokładniej, z jednym: $\displaystyle{ a \neq 0}$). A żeby zachodziła równość

$\displaystyle{ ax^2 + bx + c = a\left( x- \frac{-b+ \sqrt{b ^{2}-4ac } }{2a} \right)\left( x- \frac{-b- \sqrt{b ^{2}-4ac } }{2a} \right),}$

już potrzebne jest założenie, że

$\displaystyle{ \sqrt{b ^{2}-4ac }}$

istnieje.

Dlatego proponuję tak: jeśli $\displaystyle{ a \neq 0,}$ to
$\displaystyle{ $ \begin{equation} ax^2 + bx + c = 0 \iff (2ax+b)^2 = b^2-4ac. \tag{*} \end{equation}}$

Jeśli więc to równanie ma rozwiązanie $\displaystyle{ x_0 \in \RR,}$ to liczba $\displaystyle{ 2ax_0 + b}$ jest pierwiastkiem z $\displaystyle{ b^2-4ac,}$ tj.

$\displaystyle{ 2ax_0+b = \sqrt{b^2-4ac}.}$

Jeśli natomiast istnieje pierwiastek z $\displaystyle{ b^2-4ac,}$ tj. istnieje takie $\displaystyle{ p \in \RR,}$ że

$\displaystyle{ p^2 = b^2-4ac,}$

to liczba

$\displaystyle{ x_0 = \frac{p-b}{2a}}$

jest rozwiązaniem równania $\displaystyle{ (*),}$ bo

$\displaystyle{ \left( 2a \cdot \frac{p-b}{2a} + b \right)^2 = (p-b+b)^2 = p^2 = b^2-4ac.}$

MikolajB · Post autor: **MikolajB** » 27 paź 2013, o 11:02

jeszcze takie małe pytanie, w inkluzji z prawej do lewej piszesz, że istnieje takie $\displaystyle{ p \in R}$, że $\displaystyle{ p ^{2}= b ^{2}-4ac}$

dlaczego $\displaystyle{ p ^{2}= b ^{2}-4ac}$ a nie po prostu $\displaystyle{ p= b ^{2}-4ac}$?

i jaki w miarę formalny komentarz należy się przy $\displaystyle{ a=0}$?

Post autor: **Dasio11** » 27 paź 2013, o 13:55

Założenie brzmi, że istnieje pierwiastek z liczby $\displaystyle{ b^2-4ac.}$ Pierwiastkiem z liczby $\displaystyle{ b^2-4ac}$ nazywamy takie $\displaystyle{ p \in \RR,}$ że

$\displaystyle{ p^2 = b^2 - 4ac.}$

To po prostu definicja. Czasem wymaga się, żeby $\displaystyle{ p \ge 0,}$ ale u nas to nie jest istotne, bo istnienie pierwiastka mamy zagwarantowane z założenia i nieważne dla nas, czy jest ujemny czy nie.

Przypadek, gdy $\displaystyle{ a = 0,}$ chyba powinien być wykluczony w treści zadania, bo dla niego teza nie zachodzi. Na przykład, gdy weźmiemy

$\displaystyle{ a = 0 \\
b = 0 \\
c = 42,}$

to równanie

$\displaystyle{ ax^2 + bx + c = 0}$

nie ma rozwiązań, a

$\displaystyle{ b^2-4ac = 0}$

i ta liczba ma pierwiastek równy $\displaystyle{ 0.}$

MikolajB · Post autor: **MikolajB** » 27 paź 2013, o 18:41

no okej, $\displaystyle{ a=0}$ odapada, myślałem po prostu że to jakoś można ogólnie zapisać, ale w sumie wystarczy taki kontrprzykład.

a z tym $\displaystyle{ p ^{2}}$ to chodzi mi o to, dlaczego bierzemy $\displaystyle{ p \in R}$ i zamiast napisać $\displaystyle{ p = b ^{2} -4ac}$ to nagle tam jest $\displaystyle{ p ^{2}}$?

przepraszam, bo zgłupiałem. czy w tym zadaniu dowodzimy tego, że $\displaystyle{ b^{2}-4ac}$ posiada pierwiastek taki typu ze $\displaystyle{ \sqrt{4} =2}$, czy pierwiastkiem nazywamy po prostu rozwiązanie? czy to w ogóle jeszcze jakoś łączy? może głupie pytanie ale już zgłupiałem co my tutaj dowodzimy

Post autor: **Dasio11** » 27 paź 2013, o 21:03

Definicja brzmi tak:

Liczbę rzeczywistą $\displaystyle{ p}$ nazywamy pierwiastkiem z liczby $\displaystyle{ d \in \RR,}$ jeśli zachodzi równość

$\displaystyle{ p^2 = d.}$

Założenie przy dowodzie w lewą stronę wygląda tak:

Istnieje pierwiastek z $\displaystyle{ b^2-4ac.}$

Ja wziąłem to założenie i rozpisałem w nim definicję pierwiastka - wyszło:

Istnieje takie $\displaystyle{ p \in \RR,}$ że $\displaystyle{ p^2 = b^2-4ac.}$