Równanie kwadratowe zespolone

[Asia34]

Jak rozwiązać takie równanie \(\displaystyle{ z ^{2}+(1-3i)z -2-1=0}\)

Delta mi wyszła 2i i nie wiem, co dalej mam z tym zrobić ?

[szw1710]

Zwyczajnie, stosujesz znane wzory. Wyznacz \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}}\) i dalej jak umiesz ze szkoły.

[piasek101]

Co to na końcu \(\displaystyle{ -2-1}\) ?

[Asia34]

Tylko jak wyliczyć \(\displaystyle{ \sqrt{2i}}\) ?

[szw1710]

Ze wzoru de Moivre'a. Można też inaczej - wiedząc coś z doświadczenia. Ile to jest \(\displaystyle{ (1+i)^2}\)?

[Asia34]

Ale to wtedy będą 2 pierwiastki ?

[szw1710]

Do wzorów na rozwiązanie równania kwadratowego wystarczy jeden z nich.

[Asia34]

czyli \(\displaystyle{ (2i) ^{ \frac{1}{2} }}\) to nie to samo co \(\displaystyle{ \sqrt{2i}}\) dla liczb zespolonych ?

[bakala12]

Asia34, to jest to samo. szw1710, miał na myśli to, że są dwa pierwiastki, ale różnią się one tylko znakiem, więc którego byśmy nie wzięli to i tak z równania kwadratowego wychodzą te same rozwiązania.

[Asia34]

Ze tych różnych wzórów nie wynika, że to jest to samo.

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{\left| z\right| }(cos \frac{\phi +2k\pi}{n}+isin\frac{\phi +2k\pi}{n}}\)

\(\displaystyle{ z ^{n}=\left| z\right| ^{n}(cos(n\phi) +isin(n\phi))}\)

[cosinus90]

\(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną.

[Gouranga]

zwróć uwagę, że \(\displaystyle{ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}}\)
a pierwiastki z delty wyjdą ci 2 ale będą się różniły tylko znakiem więc to który pierwiastek weźmiesz jest tu niwelowane przez ten \(\displaystyle{ \pm}\)

[cosinus90]

Gouranga, to już napisał powyżej ktoś inny. Pytanie było o co innego.