Liczby zespolone znajdywanie pierwiastków

[jedrek124]

Witam mam takie zadanie :
Znaleźć wszystkie pierwiastki stopnia \(\displaystyle{ 3}\) z liczby \(\displaystyle{ –2 – 2 i.}\)

Oraz takie rozwiazanie:
\(\displaystyle{ z=-2-2i=2 \sqrt{2} \left( \cos \frac{5 \pi }{4} +i\sin \frac{5 \pi }{4} \right) \\
\\
w_{1} = \sqrt{2} \left( \cos \frac{5 \pi }{12} +i\sin \frac{5 \pi }{12} \right) = \frac{1}{2} \left( -1+ \sqrt{3} \right) + \frac{1}{2} \left( 1+ \sqrt{3} \right) i\\
w_{2} =\sqrt{2} \left( \cos \frac{13 \pi }{12} +i\sin \frac{13 \pi }{12} \right) = \frac{1}{2} \left( -1- \sqrt{3} \right) - \frac{1}{2} \left( -1+ \sqrt{3} \right) i\\
w_{3}=\sqrt{2} \left( \cos \frac{7 \pi }{4} +i\sin \frac{7 \pi }{4} \right) =1-i}\)

Teraz tak pierwsza linijka nie zawiera dla mnie żadnych tajemnic, jednak juz druga takowe posiada. Mianowicie nie wiem skąd po drugim znaku = wskakuje nagle \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) oraz skąd bierze się \(\displaystyle{ \left( -1+ \sqrt{3} \right) + \frac{1}{2} \left( 1+ \sqrt{3} \right) i}\) Byłoby super gdyby ktoś mógł to jakoś bardziej rozpisać i opisać. To samo tyczy się \(\displaystyle{ w _{3}}\)

[yorgin]

Policz sobie wartości funkcji trygonometrycznych, to się przekonasz, że w tym nie ma żadnej magii.

[jedrek124]

No wiem ze \(\displaystyle{ \frac{5 \pi }{12}}\) to jest 75 stopni ale co mi to daje ? i gdzie znika ten pierwiastek z dwóch i skąd się bierze ta \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) to nadal nie wiem

[yorgin]

Ja nie pytam o kąt, a właśnie o wartość \(\displaystyle{ \cos\frac{5\pi}{12}}\) itp. Co to da przekonasz się, jak podstawisz.

[jedrek124]

Jeżeli mógłbyś mi wskazać gdzie mam to sobie podstawić, bo kompletnie nie rozumiem

[yorgin]

\(\displaystyle{ w_{1} = \sqrt{2} \left( \cos \frac{5 \pi }{12} +i\sin \frac{5 \pi }{12} \right) = \frac{1}{2} \left( -1+ \sqrt{3} \right) + \frac{1}{2} \left( 1+ \sqrt{3} \right)}\)

Liczysz \(\displaystyle{ \cos\frac{5\pi}{12}}\) i podstawiasz. Potem \(\displaystyle{ \sin\frac{5\pi}{12}}\) i podstawiasz. Jak bardzo skomplikowane to może być?

[jedrek124]

tyle że mi chodziło o to po znaku równa się tzn. \(\displaystyle{ ...= \frac{1}{2} \left( -1+ \sqrt{3} \right) + \frac{1}{2} \left( 1+ \sqrt{3} \right) i\\}\). Po prostu nie rozumiem z kąd to powstało

[yorgin]

Powstało z pomnożenia \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) przez wartości funkcji trygonometrycznej.

[jedrek124]

a jaka jest jej wartosc ?

[yorgin]

\(\displaystyle{ \frac{5}{12}\pi=\frac{2}{3}\pi-\frac{1}{4}\pi}\)

I wzór na cosinus różnicy.