Cześć rzeczywista i urojona

[justynaela]

Znaleźć część rzeczywistą i urojoną liczby
a) \(\displaystyle{ z=\cos (1-\sqrt{3}i)}\)
b)\(\displaystyle{ z=\sin (2-i)}\)
c)\(\displaystyle{ z=e^{ \frac{pi}{6}i-4 }}\)
d)\(\displaystyle{ z=2e^{ \frac{pi}{4}i }}\)
Jak zabrać się do takiego zadania?

[Kartezjusz]

sinus można wyrazić za pomocą exponensów, a dalej mamy wszędzie liczby w postaci wykładniczej. Zamieniamy na trygonometryczną.

[justynaela]

exponensów?

[Kartezjusz]

Postacie wykładnicze i wzory Eulera....

[Gouranga]

skorzystaj z faktu, że:
\(\displaystyle{ \cos\varphi = \Re{e^{i\varphi}} = \frac{e^{i\varphi} + e^{-i\varphi}}{2}\\
\\
\sin\varphi = \Im{e^{i\varphi}} = \frac{e^{i\varphi} - e^{-i\varphi}}{2i}\\
\\
z = a+bi = |z|(\cos\varphi + i \sin \varphi) = e^{i\varphi}}\)

[justynaela]

A czy mógłby mi ktoś rozwiązać pokazowo 1 przykład?

[Kartezjusz]

\(\displaystyle{ \cos (1- \sqrt{3} i)= \frac{e^{i(1-\sqrt{3} i)}+e^{-i(1-\sqrt{3}i)}}{2}=\frac{e^{(i+\sqrt{3} )}+e^{(-i+\sqrt{3})}}{2}=e^{\sqrt{3}} \frac{e^{i}+e^{-i}}{2}}\)jak się nie pomyliłem to jest liczba rzeczywista jako suma dwóch liczb sprzężonych.

[justynaela]

a mógłbyś jeszcze raz napisać ostatni post?-- 23 paź 2013, o 12:46 --Czyli podpunkt b:
\(\displaystyle{ \sin (2-i) = \frac{e^{i(2-i)}-e^{-i(2-i)}}{2}=\frac{e^{2i+1}-e^{-i+1}}{2}= \frac{ e^{3i} }{2}}\)
Tak?

[Gouranga]

źle
w mianowniku masz \(\displaystyle{ 2i}\) przy sinusie a poza tym
\(\displaystyle{ e^{-i(2-i)} = e^{-2i -1}}\)

[justynaela]

a część rzeczywista w podpunkcie a jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)??