Naszkicowanie zbioru w płaszczyźnie zespolonej

Jonarz · Post autor: **Jonarz** » 22 paź 2013, o 19:40

Muszę naszkicować na płaszczyźnie zbiór: \(\displaystyle{ \frac{z^{4}}{z} = (\overline{z})^{3}}\)

Czy po ustaleniu dziedziny (definiując \(\displaystyle{ z=x+yi}\) będzie to: \(\displaystyle{ x+yi \neq 0}\) - czy to się zgadza?) mogę skrócić licznik z mianownikiem po lewej stronie, tak, że zostanie?:
\(\displaystyle{ z^{3} = (\overline{z})^{3}}\)

I teraz podnieść obie strony do sześcianu po podstawieniu \(\displaystyle{ z=x+yi}\)? Jeśli nie, to w jaki inny sposób "ugryźć" to zdanie?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 22 paź 2013, o 21:29

Jonarz pisze: Czy po ustaleniu dziedziny (definiując \(\displaystyle{ z=x+yi}\) będzie to: \(\displaystyle{ x+yi \neq 0}\) - czy to się zgadza?) mogę skrócić licznik z mianownikiem po lewej stronie, tak, że zostanie?:
\(\displaystyle{ z^{3} = (\overline{z})^{3}}\)

Wszystko się zgadza.

Jonarz pisze: I teraz podnieść obie strony do sześcianu po podstawieniu \(\displaystyle{ z=x+yi}\)? Jeśli nie, to w jaki inny sposób "ugryźć" to zdanie?

Jest to jak najbardziej poprawna metoda. Równie dobrze możesz podstawić postać trygonometryczną lub wykładniczą.

Jonarz · Post autor: **Jonarz** » 22 paź 2013, o 22:34

Dziękuję

Dochodzę do postaci:
\(\displaystyle{ yi(3x^{2}-y^{2})=0}\)
Z tego wynika:
\(\displaystyle{ yi=0 \vee y=\sqrt{3}x \vee y=-\sqrt{3}x}\)
I teraz pytanie brzmi - trzeba narysować te trzy wykresy funkcji, ale \(\displaystyle{ i}\) stoi tylko przy pierwszym igreku, co z dwoma pozostałymi? Jak to przedstawić na układzie współrzędnych?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 22 paź 2013, o 22:41

Jonarz pisze: Dochodzę do postaci:
\(\displaystyle{ yi(3x^{2}-y^{2})=0}\)

Ok. Wychodzi mi tak samo.

Jonarz pisze: Z tego wynika:
\(\displaystyle{ yi=0 \vee y=\sqrt{3}x \vee y=-\sqrt{3}x}\)

Zgadza się.

Jonarz pisze: I teraz pytanie brzmi - trzeba narysować te trzy wykresy funkcji, ale \(\displaystyle{ i}\) stoi tylko przy pierwszym igreku, co z dwoma pozostałymi?

Nie rozumiem problemu. Co z tego, że \(\displaystyle{ i}\) stoi tu, a nie tam?

Jonarz pisze: Jak to przedstawić na układzie współrzędnych?

Narysować.

Jonarz · Post autor: **Jonarz** » 22 paź 2013, o 23:00

Nie rozumiem problemu. Co z tego, że i stoi tu, a nie tam?

Nie powinienem tego rysować w układzie współrzędnych, gdzie oś pozioma jest oznaczona jako \(\displaystyle{ Rez}\) a pionowa jako \(\displaystyle{ Imz}\)? Jeśli tak, to nie wiem jak w takim układzie przedstawić równanie z igrekiem bez \(\displaystyle{ i}\) przy nim.
Czy muszę po prostu nanieść to tak, jakby \(\displaystyle{ yi=0}\) było tym samym co \(\displaystyle{ y=0}\) i wszystko przedstawić na jednym układzie o osiach \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\)?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 22 paź 2013, o 23:31

Jonarz pisze: Nie powinienem tego rysować w układzie współrzędnych, gdzie oś pozioma jest oznaczona jako \(\displaystyle{ Rez}\) a pionowa jako \(\displaystyle{ Imz}\)? Jeśli tak, to nie wiem jak w takim układzie przedstawić równanie z igrekiem bez \(\displaystyle{ i}\) przy nim.

W zapisie \(\displaystyle{ z=x+iy}\) masz odpowiednią interpretację dla części rzeczywistej i urojonej. Jest to jednoznacznie związane z postacią kartezjańską liczby zespolonej.

Jonarz pisze: Czy muszę po prostu nanieść to tak, jakby \(\displaystyle{ yi=0}\) było tym samym co \(\displaystyle{ y=0}\) i wszystko przedstawić na jednym układzie o osiach \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\)?

Dokładnie tak.

Jonarz · Post autor: **Jonarz** » 22 paź 2013, o 23:33

Dziękuję bardzo za pomoc, wszystko jasne