Witam. Mam problem. Generalnie przekształcanie liczby zespolonej w postaci kartezjańskiej idzie mi całkiem nieźle, ale do pewnego momentu. A jest nim moment, gdy wyliczyłem \(\displaystyle{ sin \alpha _{1}}\) i \(\displaystyle{ cos \alpha _{1}}\) . Bo trzeba tutaj określić ćwiartkę i potem podać kąt w radianach. Zawsze miałem z trygonometrią problemy więc proszę o pomoc.
Oto dane do zadania:
\(\displaystyle{ z_{1} = - \sqrt{3} + i}\)
\(\displaystyle{ z_{2} = -1 - i}\)
Z góry dzięki za pomoc
Postać trygonometryczna liczby zespolonej.
-
Jonarz
- Użytkownik
- Posty: 120
- Rejestracja: 2 paź 2013, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 11 razy
Postać trygonometryczna liczby zespolonej.
Zawsze najpierw liczysz moduł liczby zespolonej. Gdy już go otrzymasz, wyliczasz \(\displaystyle{ sin \alpha}\) i \(\displaystyle{ cos \alpha}\) w ten sposób:
\(\displaystyle{ cos \alpha= \frac{Rez}{\left| z \right| }}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha= \frac{Imz}{\left| z \right| }}\)
Na przykład w pierwszym przykładzie podanym przez Ciebie:
\(\displaystyle{ \left| z \right| = 2}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha= \frac{-\sqrt3}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha= \frac{1}{2}}\)
Teraz korzystasz z tego, jaki znak mają funkcje trygonometryczne w danej ćwiartce (ja np. używam "wierszyka": W pierwszej ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie. W drugiej tylko sinus. W trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus.
Czyli dla naszego przykładu - sinus jest dodatni, cosinus jest ujemny \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) II ćwiartka układu współrzędnych.
Teraz odczytujemy (przypominamy sobie) wartości \(\displaystyle{ \Phi_{0}}\) (tj. w pierwszej ćwiartce, jakby był dodatni). Dla wyliczonych wartości jest to \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\).
Korzystamy ze wzorów na kąt liczony w danej ćwiartce:
I ćw.: \(\displaystyle{ \Phi=\Phi_{0}}\)
II ćw.: \(\displaystyle{ \Phi=\pi - \Phi_{0}}\)
III ćw.: \(\displaystyle{ \Phi=-\pi + \Phi_{0}}\)
IV ćw.: \(\displaystyle{ \Phi=- \Phi_{0}}\)
W naszym wypadku - druga ćwiartka, więc kąt \(\displaystyle{ \Phi=\pi - \frac{\pi}{6}= \frac{5}{6} \pi}\).
Wartości kątów podstawowych (tj. \(\displaystyle{ \Phi_{0}}\)) znajdziesz w Google (generalnie dość łatwo jest to zapamiętać - gdy \(\displaystyle{ sin x= \frac{1}{2}}\), to kąt jest równy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\), a gdy \(\displaystyle{ cos x= \frac{1}{2}}\), to \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\); gdy sinus i cosinus są równe \(\displaystyle{ \frac{\sqrt2}{2}}\), to wartość kąta w radianach wynosi \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\)).
\(\displaystyle{ cos \alpha= \frac{Rez}{\left| z \right| }}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha= \frac{Imz}{\left| z \right| }}\)
Na przykład w pierwszym przykładzie podanym przez Ciebie:
\(\displaystyle{ \left| z \right| = 2}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha= \frac{-\sqrt3}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha= \frac{1}{2}}\)
Teraz korzystasz z tego, jaki znak mają funkcje trygonometryczne w danej ćwiartce (ja np. używam "wierszyka": W pierwszej ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie. W drugiej tylko sinus. W trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus.
Czyli dla naszego przykładu - sinus jest dodatni, cosinus jest ujemny \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) II ćwiartka układu współrzędnych.
Teraz odczytujemy (przypominamy sobie) wartości \(\displaystyle{ \Phi_{0}}\) (tj. w pierwszej ćwiartce, jakby był dodatni). Dla wyliczonych wartości jest to \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\).
Korzystamy ze wzorów na kąt liczony w danej ćwiartce:
I ćw.: \(\displaystyle{ \Phi=\Phi_{0}}\)
II ćw.: \(\displaystyle{ \Phi=\pi - \Phi_{0}}\)
III ćw.: \(\displaystyle{ \Phi=-\pi + \Phi_{0}}\)
IV ćw.: \(\displaystyle{ \Phi=- \Phi_{0}}\)
W naszym wypadku - druga ćwiartka, więc kąt \(\displaystyle{ \Phi=\pi - \frac{\pi}{6}= \frac{5}{6} \pi}\).
Wartości kątów podstawowych (tj. \(\displaystyle{ \Phi_{0}}\)) znajdziesz w Google (generalnie dość łatwo jest to zapamiętać - gdy \(\displaystyle{ sin x= \frac{1}{2}}\), to kąt jest równy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\), a gdy \(\displaystyle{ cos x= \frac{1}{2}}\), to \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\); gdy sinus i cosinus są równe \(\displaystyle{ \frac{\sqrt2}{2}}\), to wartość kąta w radianach wynosi \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\)).