Rozwiązanie równania kwadratowego

[Bart7]

Witam. Ostatnio na wykładzie wykładowca rozwiązywał równanie:

\(\displaystyle{ z^{2} + \left( 1 + 4i\right) z - \left( 5 + i\right) = 0}\)

Policzył z tego delta, wyszło \(\displaystyle{ 5 + 4i}\). Mi wyszedł inny wynik, ale mniejsza z tym. Czytałem o liczbach zespolonych i o rozwiązywaniu równań kwadratowych. Wykładowca robił to w ten sposób:

\(\displaystyle{ \sqrt{5 + 4i} = a + bi}\)

Potem podnosił do kwadratu, wyliczał z tego wzory na a i b. Wyszło nowe równanie kwadratowe, wyliczył wartość z b, podstawił do wzoru na a i wyszło a. Na koniec policzył już \(\displaystyle{ a + bi}\), a potem \(\displaystyle{ z_{1}}\) i \(\displaystyle{ z_{2}}\).

Kompletnie nie rozumiem tego po co on to robił i dlaczego. Nie mógł wziąć pierwiastka z delty i podstawić go pod wzór znanym nam ze szkoły średniej na x1 i x2?

[kristoffwp]

No ale jak miał wziąć pierwiastek z delty? W jego metodzie \(\displaystyle{ a+bi}\) to nic innego, jak pierwiastek z delty.

[robertm19]

Ale trzeba właśnie ten pierwiastek z delty obliczyć i on to zrobił.

[Bart7]

No dobrze, ale czemu pierwiastek z delty jest równy postaci algebraicznej liczby zespolonej? Nie za bardzo to łapie.

[robertm19]

nie znamy a i b, a każda liczba ma taką postać. I tu chodzi o wyliczenie tych wartości.

[gardner]

Słuchaj,delta wyszła Ci w postaci zespolonej. Chyba umiesz liczyć pierwiastki z liczb zespolonych? Wykładowca użył jednej z metod na ich wyliczenie,która sprawdza się tylko w przypadku pierwiastków kwadratowych. Ogólna metoda to wzór de Moivre'a

[kristoffwp]

No dobrze, ale czemu pierwiastek z delty jest równy postaci algebraicznej liczby zespolonej? Nie za bardzo to łapie.

Kto łapie?

Znajdujesz się w zbiorze liczb zespolonych. Dziwi mnie twoje zdziwienie. Pierwiastek z delty jest liczbą zespoloną. To jaką ma mieć postać? Oczywiście można używać innych (nawet lepiej), ale nie wyskoczysz nagle poza \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\)