Dowód - zastosowanie wzoru Eulera

[lukasz_matma]

Witam.
Proszę o pomoc w następującym zadaniu:
Udowodnij prawdziwość poniższych sum przy pomocy wzoru Eulera:
1. \(\displaystyle{ \cos (\phi_1+\phi_2)=\cos (\phi_1) \cdot \cos (\phi_2)-\sin (\phi_1) \cdot \sin (\phi_2)}\)
2. \(\displaystyle{ \sin (\phi_1+\phi_2)=\sin (\phi_1) \cdot \cos (\phi_2)+\cos (\phi_1) \cdot \sin (\phi_2)}\)
Z góry bardzo dziękuję za wszelką pomoc.
Pozdrawiam!

[szw1710]

Niech \(\displaystyle{ z_k=\cos\phi_k+i\sin\phi_k=e^{i\phi_k}}\), \(\displaystyle{ k=1,2}\). Mamy \(\displaystyle{ z_1z_2=e^{i(\phi_1+\phi_2)}}\). Rozwiń to do postaci trygonometrycznej. Następnie wymnóż postaci trygonometryczne \(\displaystyle{ z_1,z_2}\) zwyczajnie mnożąc nawiasy. Na koniec porównaj obie postaci.

[lukasz_matma]

Dla pewności:
\(\displaystyle{ z_1=\cos \phi_1+i\sin \phi_1=e^{i\phi_1} \\
z_2=\cos \phi_2+i\sin \phi_2=e^{i\phi_2}\\
L=z_1 \cdot z_2=e^{i\phi_1} \cdot e^{i\phi_2}=e^{i(\phi_1 +\phi_2)}=\cos (\phi_1+\phi_2)+i\sin (\phi_1+\phi_2)}\)
I teraz:
\(\displaystyle{ P=z_1 \cdot z_2=(\cos \phi_1+i\sin \phi_1)(\cos \phi_2+i\sin \phi_2)=\cos \phi_1 \cos \phi_2-\sin \phi_1 \sin \phi_2+i(\sin \phi_2 \cos \phi_1+\cos \phi_2 \sin \phi_1)}\)
Porównując części rzeczywiste i zespolone otrzymamy, że:
\(\displaystyle{ \cos (\phi_1+\phi_2)=\cos \phi_1 \cos \phi_2-\sin \phi_1 \sin \phi_2\\
\sin (\phi_1+\phi_2)=\sin \phi_2 \cos \phi_1+\cos \phi_2 \sin \phi_1}\)
Dobrze myślę?
I teraz drugie zadanie, proszę tylko o sprawdzenie poprawności:
Udowodnić, że jest prawdą jest:
\(\displaystyle{ e^{i\pi}+1=0}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ e^{i\pi}+1=\cos \pi+i\sin \pi+1=-1+i \cdot 0+1=-1+1=0}\)

[szw1710]

Oba w porządku.

[lukasz_matma]

Dziękuję bardzo zatem!
Pozdrawiam