Funkcja trygonometryczna w postaci kartezjańskiej

[mark075]

Witam,
Mam do obliczenie wartość wyrażenia z 2 liczbami zespolonymi. Z czego wygląda ono tak:

\(\displaystyle{ \left( 1+i \ctg \frac{ \pi }{24} \right) ^{12} + \left( 1-i \ctg \frac{ \pi }{24} \right) ^{12}}\)

Pierwszy raz się spotkałem z tym żeby w postaci kartezjańskiej był np. \(\displaystyle{ \ctg}\) i nie mam pojęcia jak się za to zabrać. Chyba muszą każdą zamienić na postać trygonometryczną, ale utknąłem już na module. Proszę o jakieś wskazówki. Z góry dzięki za pomoc.

[Naed Nitram]

Niech \(\displaystyle{ \alpha=\frac\pi{24}}\) oraz

\(\displaystyle{ x=1- i\ctg\alpha=\frac i{\sin\alpha}(-i\sin\alpha-\cos\alpha)=-\frac i{\sin\alpha}(\cos\alpha+i\sin\alpha)}\)

\(\displaystyle{ \overline x=1+i\ctg\alpha}\).

Mamy więc:

\(\displaystyle{ x^{12}=(1-i\ctg\alpha)^{12}=\frac{\cos(12\alpha)+i\sin(12\alpha)}{\sin^{12}\alpha}}\).

Po wstawieniu \(\displaystyle{ \alpha=\frac{\pi}{24}}\)

\(\displaystyle{ x^{12}=\frac{\cos\frac\pi 2+i\sin\frac\pi 2}{\sin^{12}\alpha}=\frac i{\sin^{12}\alpha}}\),

czyli \(\displaystyle{ x^{12}}\) jest liczbą urojoną.

Wobec tego

\(\displaystyle{ \left( 1+i \ctg \frac{ \pi }{24} \right) ^{12} + \left( 1-i \ctg \frac{ \pi }{24} \right) ^{12}=(\overline x)^{12}+x^{12}=0}\)