potęga liczby zespolonej

kalik · Post autor: **kalik** » 19 paź 2013, o 22:05

Obliczyć:
\(\displaystyle{ \left (\frac{1-i}{\sqrt{3}+i} \right )^{6}}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 19 paź 2013, o 22:08

wzor de Moivre'a

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 19 paź 2013, o 22:09

Osobno licznik, osobno mianownik. Sprowadź je do postaci trygonometrycznej, wyznacz potęgi, a następnie usuń liczbę urojoną z mianownika.

kalik · Post autor: **kalik** » 19 paź 2013, o 22:41

\(\displaystyle{ \left (\frac{\sqrt{2}(\cos \varphi +i\sin \varphi )}{2(\cos\varphi +i\sin \varphi ) } \right )^{6}}\)
Czy mogę uprościć wyrażenie z cosinusem i sinusem?

waliant · Post autor: **waliant** » 19 paź 2013, o 22:46

kalik pisze:\(\displaystyle{ \left (\frac{\sqrt{2}(\cos \varphi +i\sin \varphi )}{2(\cos\varphi +i\sin \varphi ) } \right )^{6}}\)
Czy mogę uprościć wyrażenie z cosinusem i sinusem?

Nie możesz bo to wcale nie jest równość z wyjściowym ułamkiem (w mianowniku i liczniku są różne kąty).

Gouranga · Post autor: **Gouranga** » 19 paź 2013, o 22:56

możesz też wykonać najpierw to dzielenie mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika a potem jedną liczbę która wyjdzie podnieść do potęgi.

waliant · Post autor: **waliant** » 19 paź 2013, o 23:03

Gouranga pisze:możesz też wykonać najpierw to dzielenie mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika a potem jedną liczbę która wyjdzie podnieść do potęgi.

Ja bym nie wprowadzał w błąd. Poważnie chcesz podnosić \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} -1 -i(1+ \sqrt{3} )}{4}}\) do \(\displaystyle{ 6}\) potęgi ?

kalik · Post autor: **kalik** » 19 paź 2013, o 23:06

właśnie spróbowałem i chyba nie warto

waliant · Post autor: **waliant** » 19 paź 2013, o 23:12

Przedstaw licznik i mianownik w postaci trygonometrycznej.

kalik · Post autor: **kalik** » 19 paź 2013, o 23:50

\(\displaystyle{ \left (\frac{\sqrt{2}(\cos \varphi_{1} +i\sin \varphi_{1} )}{2(\cos\varphi_{2} +i\sin \varphi_{2} ) } \right )^{6}=\left ( \frac{1(\cos 6\varphi _{1}+i\sin 6\varphi _{1})}{8(\cos 6\varphi _{2}+i\sin 6\varphi _{2})} \right )}\)
Czy teraz jest poprawnie?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 19 paź 2013, o 23:57

Tak. Wystarczy podzielić (odejmujesz argumenty kątowe - tutaj masz o tym: 2524.htm).
PS no i oczywiście na koniec podstawić.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 19 paź 2013, o 23:59

Owszem, możesz sobie odjąć kąty, ale sądzę, że różnica nie będzie "okrągła". Lepiej chyba zwyczajnie wykonać dzielenie liczb zespolonych mnożąc i dzieląc przez sprzężenie mianownika. Ale nie liczyłem dokładnie i po wyznaczeniu potęgi argument może być "okrągły".

kalik · Post autor: **kalik** » 20 paź 2013, o 00:11

\(\displaystyle{ \frac{1}{8}\frac{\left (\cos 6\varphi _{1}+i\sin 6\varphi _{1} \right )(\cos 6\varphi _{2}-i\sin 6\varphi _{2})}{1}}\)
jak to dalej uprościć?