Podaj pierwiastki

[Mojito]

Witam, mam obliczyć takie zadanko :
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \left( 1+i \right) ^{3} }}\)
Pierwszy pierwiastek wyznaczyć jest prosto :
\(\displaystyle{ w_{0} = 1+i}\)
Drugi pierwiastek wyznaczam ze wzoru :
\(\displaystyle{ w_{k} = w_{k-1} \cdot \left( \cos \frac{2 \pi }{n} \cdot i\sin \frac{2 \pi }{n} \right)}\)
Wychodzi mi że :
\(\displaystyle{ w_{1} = \left( \frac{-1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2} + i \cdot \left( \frac{-1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) \right)}\)
No ale korzystając z tego wzoru po raz 3 to już wychodzą głupoty i wynik się nie zgadza. Jako że jest pierwiastek 3 stopnia z i+i do trzeciej nie wiem za bardzo jak mam użyć wzoru na obliczenie pierwiastków. Jaki to wzór ?

[Premislav]

Można skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy, a potem zamienić na trygonometryczną i spierwiastkować, ale np. dla wykładnika \(\displaystyle{ 38434}\) by to nie przeszło, więc inaczej:
Zamień to w nawiasie na trygonometryczną, pamiętając o okresie. Wykonaj potęgowanie, zauważ, że
\(\displaystyle{ 6k \pi =2k ' \pi}\), wykonaj pierwiastkowanie i podstaw \(\displaystyle{ k'=0,1,2}\), otrzymując rozwiązania.

[Mojito]

Wyszło ! dzięki bardzo

[R-evolve]

Mam prośbę mógłby ktoś napisać jak rozwiązać ten trzeci pierwiastek bo próbowałam tak jak jest tutaj podane i nie chce mi wyjść a zależy mi na tym żeby to umieć:)

[Kartezjusz]

\(\displaystyle{ 0,1,2}\) to już są trzy liczby...

[R-evolve]

Nie musisz dawać trzech kropek tylko i wyłącznie dlatego że ktoś tego nie może zrobić jednego przykładu... Zamiast tego wytłumaczyłbyś to w miarę przystępny sposób

[Kartezjusz]

powiedz , co zadziałało po wskazówce Premislava a co nie.

[R-evolve]

Przekształciłam wyrażenie w nawiasie na postać trygonometryczną i podniosłam do potęgi podstawiając do wzoru Moivre'a wyszło mi \(\displaystyle{ -2+2i}\). Dałam to wyrażenie pod pierwiastek trzeciego stopnia zaczęłam od nowa liczyć moduł i wartość \(\displaystyle{ \varphi}\) i co teraz? nie wiem za bardzo o co chodzi z tym,że \(\displaystyle{ 6k \pi =2k ' \pi}\). Zrobiłam wszystkie przykłady z pierwiastkowania i tylko ten jeden mi nie chce wyjść dlatego tak mnie to dręczy.

[Kartezjusz]

chodi o to, że \(\displaystyle{ 6k \pi}\) też jest okresem...