Obliczyć wartość wyrażenia

[gardner]

\(\displaystyle{ \left( \frac{1+ i \sqrt{3} }{1+i} \right) ^{30} \\}\)
Po usunięciu niewymierności i uproszczeniu wyszło mi:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1+ \sqrt{3} }{2} + \frac{i \left( \sqrt{3}-1 \right) }{2} \right) ^{30}}\)
Jak doprowadzić to do postaci trygonometrycznej?

[Chromosom]

Należy obliczyć moduł i argument.

[gardner]

Moduł mi wyszedł \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\),a co do agrumentu,którego liczy się ze wzoru na tangens,wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ \arc\tg \left( \frac{b}{a} \right) =x \\}\)
\(\displaystyle{ \tg x=2- \sqrt{3} \\}\) \(\displaystyle{ \\}\)i nie wiem co dalej z tym zrobić...

[Premislav]

Jeżeli chodzi Ci o moduł wyrażenia, które będziesz potęgować, to jest obliczony poprawnie. Zamiast usuwać "niewymierność", można od razu zamienić licznik i mianownik na moduł\(\displaystyle{ \cdot (cos \alpha + i \sin \alpha )}\) i skorzystać ze wz. de Moivre'a (jeśli tak się to nazywało...) dla ilorazów (odejmujesz kąty). A potem potęgowanie - to pewnie wiesz, jak wykonać.
PS Oczywiście argumenty kątowe będą różne w przypadku licznika i mianownika - ten mój zapis mógł wprowadzać w błąd.

[gardner]

Wynik wyszedł mi \(\displaystyle{ i \cdot 2^{15}}\) może zrobiłeś? Chcę się upewnić...

[bakala12]

Ogólnie to najlepiej podnosić do potęgi osobno licznik i mianownik, a potem dopiero podzielić, żeby nie bawić się w \(\displaystyle{ \sin 15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\) itp. Wynik wychodzi istotnie \(\displaystyle{ 2^{15}i}\)