Oblicz , Porównać , Narysować - Zadania z listy

[Gohan]

1.Obliczyć:
a)
\(\displaystyle{ \left( 2-5i \right) + \left( 3+i \sqrt{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ \left( 2+3 \right) + \left( -5+\sqrt{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ 5+ \left( -5+ \sqrt{2} \right) i}\)
b)
\(\displaystyle{ \left( 7+6i \right) - \left( 8-3i \right)}\)
\(\displaystyle{ \left( 7+8 \right) + \left( 6i-3i \right)}\)
\(\displaystyle{ 15-3i}\)
c)
\(\displaystyle{ \left( 4-i \right) \left( 3+4i \right)}\)
\(\displaystyle{ 12+4 \right) + \left( -3i+16i \right)}\)
\(\displaystyle{ 16+13i}\)
d)
\(\displaystyle{ \frac{1+i}{6-5i}= \frac{ \left( 1+i \right) \left( 6+5i \right) }{ \left( 6-5i \right) \left( 6+5i \right) }= \frac{ \left( 6-5 \right) + \left( 6i+5i \right) }{36+25}= \frac{1}{61} + \frac{11}{61}i}\)
e)
\(\displaystyle{ i^{11}= -i}\)
f)
\(\displaystyle{ \overline{ \left( -1+2i \right) }=-1-2i}\)
g)
\(\displaystyle{ \overline{ \left( -3i \right) }=3i}\)
h)
\(\displaystyle{ \left( 3+4i \right) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 9-16+12i}\)
\(\displaystyle{ -5+12i}\)
i)
\(\displaystyle{ \overline{ \left[ \left( 2+i \right) ^{3} \right] }=8- 6^{2} \cdot i +3 \cdot 2 \cdot i^{2} + i^{3} = 8 -36i+6 \cdot 1 -i =8-36i+6 -i=2-37 i}\)

2) Porównując części rzeczywiste i urojone obu stron znaleźć ich rozwiązanie

a) Pogubiłem się
\(\displaystyle{ \overline{z}= \left( 2-i \right) z \\
x-yi = \left( 2-i \right) \left( x-yi \right) \\
x-yi= \left( 2x+y \right) + \left( xi-y \right) \\
x-yi=2x+y+xi-y \\
x-yi = 2x +xi \\
-2x+x = xi+yi \\
-x = x+y}\)

b)
\(\displaystyle{ z^{2} +4=0 \\
\Delta = 0-4 \cdot 1 \cdot 1 \\
\Delta=16}\)

\(\displaystyle{ x_{1}=-2 \\
x_{2}=2}\)

c)
\(\displaystyle{ \left( 1+3i \right) z+ \left( 2-5i \right) \bar{z} = 2i-3 \\
\left( 1+3i \right) \left( x+yi \right) + \left( 2-5i \right) \left( x-yi \right) =2i-3 \\
\left( x-3 \right) + \left( 3xi-yi \right) + \left( 2x-5y \right) + \left( -5xi+5y \right) =2i-3 \\
x-3y+3xi-yi+2x-5y-5xi-5y=2i-3}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x-y-5x=2 =2 \\ x-3y+2-5y = -3 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} -2x-y=2 \\ x-8y=-5 / \cdot 2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} -2x-y=2 \\ 2x-16y=-10 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ -17y= -8 /\cdot \left( -1 \right) \\
17y=8 / 17 \\
y= \frac{8}{17}}\)

\(\displaystyle{ -2x- \frac{8}{17} =2 \\
-2x=2 \frac{8}{17}/ \cdot \left( -1 \right) \\
2x= -2 \frac{8}{17} \\
x=- \frac{8}{34}}\)

3) Na płaszczyźnie zespolonej narysować liczby zespolone spełniające warunek :

a)
\(\displaystyle{ \Re\left( z+1 \right) =\Im\left( 2z-4i \right) \\
\left( z+1 \right) = \left( 2z-4i \right) \\
z+1 = 2z +4i \\
-z=-1+4i \\
z=1-4i}\)


b)
\(\displaystyle{ \Re\left( z ^{2} \right) \le 8 \\
x ^{2} -y ^{2} +2xyi \le 0 \\
2xy \le 0}\)



c) Nie wiem co tu zrobić
\(\displaystyle{ \Im\left( ^{z} \right) \le 8 \\
z ^{2} -y ^{2} +2xyi \le 8 \\
2xy \le 8}\)

Wiem ,że męczę posta za postem ale postawcie się w mojej sytuacji Muszę dziś mieć to opanowane na blachę .

[Jan Kraszewski]

1b) \(\displaystyle{ 7-8\neq 15, 6+3\neq-3}\)

JK

[miodzio1988]

zad 2 b

delta do bani

[Jan Kraszewski]

W 3c) coś źle wpisałeś.

Przy okazji: sprzężenie to overline{ }.

JK

PS. Na blachę nie warto się uczyć - warto rozumieć.

[Gohan]

nie chcę uczyć się na pamięć ,tylko te materiały są jakieś dziwne , z wielu stron korzystałem . Nawet mam książki Skoczylasa i Gewerta, przykłady rozumiem jak są rozwiązane a jak przychodzi do zadań to wgl tego nie rozumiem , nie potrafię zrobić zadania mając wszystkie wzory pod ręką . Może znacie jakąś stronę z porządna teorią ?

[Jan Kraszewski]

Pobieżne przejrzenie Twoich rachunków pokazuje, że masz problem z przekształceniami algebraicznymi, co powoduje oczywiście, że dostajesz złe wyniki.

JK

[Gohan]

Ale to mniejsza o te wyniki , ja tylko chce znać sposób mniej więcej , żeby zobaczysz zadanie i wiedzieć jak się za nie zabrać , to jest właśnie dla mnie problemem największym. Jak się zamyka tematy , bo ta dyskusja mi nic nie pomoże , w nocy przeczytam dział liczby zespolone z 10 x i wam opisze dokładniej mój problem .

[Jan Kraszewski]

Ale Twoje błędy nie wynikają z tego, że źle robisz, tylko że źle liczysz.

W zad. 1 źle masz b) i i), właśnie przez błędne przekształcanie i rachunki, podobnie w 2a) i 2b) (dalej już nie czytałem).

JK

[Gohan]

Zad 1
b)
\(\displaystyle{ (7+6i)-(8-3i)= 7+6i-8+3i = -1 +9i}\)
i)
\(\displaystyle{ (2-i) ^{3} = 8-12i+6i+i = 8-19i}\)
Zad 2
Mam problem z wzorem na mnożenie :
\(\displaystyle{ (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i}\)

Problem tkwi w tym bo nie wiem , czy już w tym wzorze jest uwzględnione\(\displaystyle{ i ^{2}}\) czyli \(\displaystyle{ -1}\) czy nie i dlatego zrobiłem przykład c na 2 sposoby i powiedzcie , który jest prawidłowy. W 2 miejscach zmienia się znak


a) ( tu dalej nie wiem co jest grane)
\(\displaystyle{ \overline{z}=(2-1)z}\)
\(\displaystyle{ x-yi=(2-1)(x+yi)}\)
\(\displaystyle{ x-yi=(2x+yi)+(-x+2yi)}\)
\(\displaystyle{ x-yi=2x +yi -x + 2 yi}\)
\(\displaystyle{ x-yi = x+ 3yi}\)
b)Też dziwi mnie wynik
\(\displaystyle{ z ^{2} +4=0}\)
\(\displaystyle{ (x+yi) ^{2} +4 = 0}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} -y ^{2} +2xyi = -4}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} - y ^{2}= -4}\)
\(\displaystyle{ 2xyi = 0}\)

c)
1 sposób
\(\displaystyle{ (1+3i)z+(2-5i)\overline{z}=2i-3}\)
\(\displaystyle{ (1+3)(x+yi)+(2-5i)(x-yi)=2i-3}\)
\(\displaystyle{ (x+3y)+(3xi+yi)+(2x-5y)+(-5xi-2yi)=2i-3}\)

\(\displaystyle{ 3xi+yi-5xio-2yi=2i \rightarrow 3x+y-5x-2y=2 \rightarrow -2x+y=2}\)

\(\displaystyle{ x+2x-5y=-3 \rightarrow 3x-5y=-3}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}-2x+y=2/ \cdot 5 \\ 3x-5y=-3 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} -10x+5y=10 \\ 3x-5y=-3 \end{cases}}\)


\(\displaystyle{ x=-1}\)

\(\displaystyle{ 10+5y=10}\)
\(\displaystyle{ y=0}\)
2 sposób
\(\displaystyle{ (1+3i)z+(2-5i)\overline{z}=2i-3}\)
\(\displaystyle{ (1+3)(x+yi)+(2-5i)(x-yi)=2i-3}\)
\(\displaystyle{ (x-3y)+(3xi+yi)+(2x+5y)+(-5xi-2yi)=2i-3}\)

\(\displaystyle{ x-3y+3xi+yi+2x+5y-5x-2yi=2i-3}\)

\(\displaystyle{ 3xi+yi-2yi = 2i \rightarrow 3x-y=2}\)
\(\displaystyle{ x-3y+2x+5y-5x=-3 \rightarrow -2x+2y=-3}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x-y=2/ \cdot 2\\ -2x+2y=-3 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 6x-2y=4 \\ -2x+2y=-3 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ 4x=1}\)
\(\displaystyle{ x=0,25}\)

\(\displaystyle{ -0,5+2y=-3}\)
\(\displaystyle{ 2y=-2,5}\)
\(\displaystyle{ y=-1,25}\)

Pytania:
-jak zrobić przykład a i b ( czy dobrze to zacząłem ) ?
-który z przykładów c jest dobry ?

[Jan Kraszewski]

Zad 1
b)
\(\displaystyle{ (7+6i)-(8-3i)= 7+6i-8+3i = -1 +9i}\)

Dobrze.

i)
\(\displaystyle{ (2-i) ^{3} = 8-12i+6i+i = 8-19i}\)

Znów jesteś nieuważny, popraw to.

Zad 2
Mam problem z wzorem na mnożenie :
\(\displaystyle{ (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i}\)

Problem tkwi w tym bo nie wiem , czy już w tym wzorze jest uwzględnione\(\displaystyle{ i ^{2}}\) czyli \(\displaystyle{ -1}\) czy nie i dlatego zrobiłem przykład c na 2 sposoby i powiedzcie , który jest prawidłowy. W 2 miejscach zmienia się znak

Wymnóż sobie, to zobaczysz (wskazówka: \(\displaystyle{ bi\cdot di=-bd}\)).

JK

[Gohan]

Wymnóż sobie, to zobaczysz (wskazówka: \(\displaystyle{ bi\cdot di=-bd}\)).

Tak ja wiem dokładnie ,że \(\displaystyle{ bi\cdot di=-bd}\) ale chodzi mi to ,czy z wzoru się uwzględnia kolejnego minusa , czy ten wzór to czysty gotowiec? Wystarczy ,że powiesz mi ,który przykład c ) jest poprawny .

[Jan Kraszewski]

Nie rozumiem, wzór to wzór. Nie musisz go używać, możesz "ręcznie" wymnożyć te nawiasy i zobaczysz, która wersja jest poprawna.

JK

[Gohan]

i) Dobrze?
\(\displaystyle{ (2-i) ^{3} = 8-12i-6+i= 2-11i}\)



zad 87

a) Porównując części rzeczywiste i urojone obu stron podanych równań znaleźć ich rozwiązania (kompletnie tego nie rozumiem , przecież dobrze liczę ..)

\(\displaystyle{ \overline{z } = (2-i)z}\)

\(\displaystyle{ x-yi=(2-i)(x+yi)}\)
\(\displaystyle{ x-yi=(2x-y)+(-xi+2yi)}\)
\(\displaystyle{ x-yi=2x-y+xi+2yi}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} -yi= -xi+2y \\ x=2x-y \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} -y=x+2y \\ x=2x-y \end{cases}}\)

Co dalej ? Nie mam bladego pojęcia

[Jan Kraszewski]

i) Dobrze?
\(\displaystyle{ (2-i) ^{3} = 8-12i-6+i= 2-11i}\)

Dobrze.

\(\displaystyle{ x-yi=(2-i)(x+yi)\\
x-yi=(2x-y)+(-xi+2yi)}\)

Już tu masz błąd.

JK

[Gohan]

\(\displaystyle{ x-yi=(2-i)(x+yi)}\)
\(\displaystyle{ x-yi=(2x+y)+(-xi+2yi)}\)

tak ? bo już sam nie wiem , jak to robić ;/ mógłby ktoś 1 przykład zrobić na losowych liczbach to bym doszedl co i jak , a tak to ciągle błędy wale .