Zapisz w postaci trygonometrycznej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
gardner

Zapisz w postaci trygonometrycznej

Post autor: gardner »

\(\displaystyle{ 2\sin \alpha \cos \alpha + i(2\cos^{2} \alpha -1)= \sin2 \alpha + i\cos2 \alpha =\cos( \frac{ \pi }{2} - 2 \alpha ) + i\sin( \frac{ \pi }{2}-2 \alpha )}\). I teraz pytanie,czy trzeba to rozpisywać na przypadki w zależności od wartości kąta \(\displaystyle{ 2\alpha \\}\) ? Po co to robić (jeżeli w ogóle,przecież kąty będą takie same w obydwu funkcjach tryg.?) A jak robić,to jak najszybciej?
lukequaint
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 219
Rejestracja: 5 maja 2010, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 75 razy

Zapisz w postaci trygonometrycznej

Post autor: lukequaint »

Nie trzeba. Otrzymałeś postać trygonometryczną i to wystarczy.
gardner

Zapisz w postaci trygonometrycznej

Post autor: gardner »

Ale chyba w zależności od wartości kątów,będą się zmieniały znaki,czyż nie? Czyli np.\(\displaystyle{ \left| z\right| \cos \alpha - i\sin\alpha}\) nie jest już postacią trygonometryczną? Nie jestem przekonany co do tych przypadków...
lukequaint
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 219
Rejestracja: 5 maja 2010, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 75 razy

Zapisz w postaci trygonometrycznej

Post autor: lukequaint »

Nie, nie jest, chyba że zapomniałeś nawiasu. \(\displaystyle{ |z|(\cos \alpha - i\sin \alpha) = |z|(\cos(-\alpha) + i\sin(-\alpha))}\), bo \(\displaystyle{ \sin x}\) jest funkcją nieparzystą, a \(\displaystyle{ \cos x}\) funkcją parzystą.

Postać trygonometryczna to \(\displaystyle{ |z|(\cos \varphi + i \sin \varphi)}\), gdzie \(\displaystyle{ |z|}\) jest długością promienia okręgu, na którym leży dana liczba, a \(\displaystyle{ \varphi}\) pozycją na tym okręgu. Taką otrzymałeś dla \(\displaystyle{ z = 1}\) i \(\displaystyle{ \varphi = \frac{\pi}{2} - 2\alpha}\). Nie rozumiem, dlaczego przejmujesz się znakami. Doszedłeś do postaci zależnej od parametru \(\displaystyle{ \alpha}\): \(\displaystyle{ \cos( \frac{ \pi }{2} - 2 \alpha ) + i\sin( \frac{ \pi }{2}-2 \alpha)}\). Wszystkie liczby tej postaci leżą na okręgu jednostkowym, np. dla \(\displaystyle{ \alpha = 0}\) otrzymujesz \(\displaystyle{ i}\), a dla \(\displaystyle{ \alpha = \frac{\pi}{8}}\) dostaniesz \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}}\), natomiast dla \(\displaystyle{ \alpha = \frac{3\pi}{8}}\) liczbę \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}}\).
ODPOWIEDZ