obliczyć...
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-1 + i}}\)
Zamieniam na postać trygonometryczna, wychodzi mi :
\(\displaystyle{ \sqrt{2}(\cos{\frac{3\pi}{4}} + i\sin{\frac{3\pi}{4}})}\)
Liczą wzorem, pierwszy pierwiastek wychodzi mi : \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[3]{2}}(1 + i)}\)
Dalej dochodzę do \(\displaystyle{ \sqrt[6]{2}(\cos{\frac{11\pi}{12}}+ i\sin{\frac{11\pi}{12}})}\)
I nie wiem co dalej.
W odpowiedziach drugi pierwiastek to: \(\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt[3]{2}}(-1 - \sqrt{3} + i(-1 + \sqrt{3}))}\)
obliczyć i narysować na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki
-
octahedron
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
obliczyć i narysować na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki
\(\displaystyle{ e^{i\frac{2\pi}{3}}=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\\
z_1=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}(1+i)\\
z_2=z_1\cdot\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\\
z_3=z_2\cdot\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}=z_1\cdot\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^2}\)
z_1=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}(1+i)\\
z_2=z_1\cdot\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\\
z_3=z_2\cdot\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}=z_1\cdot\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^2}\)
-
Gouranga
- Użytkownik
- Posty: 1592
- Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Trójmiasto
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 246 razy
obliczyć i narysować na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki
jeśli chodzi o rysunek to robisz tak:
\(\displaystyle{ z = -1 + i\\
|z| = \sqrt{2}\\
\varphi_z = \frac{3}{4}\pi\\}\)
chcesz liczyć pierwiastki 3-go stopnia więc musisz najpierw narysować sobie okrąg o środku w początku płaszczyzny zespolonej o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt[3]{|z|} = \sqrt[3]{\sqrt{2}} = \sqrt[6]{2}}\)
teraz podziel sobie kąt \(\displaystyle{ \varphi_z}\) przez stopień pierwiastka czyli przez 3
\(\displaystyle{ \frac{\varphi_z}{3} = \frac{\pi}{4}}\)
więc pierwszy pierwiastek zaznaczasz na tym okręgu odchylony od OX o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) a każdy następny co \(\displaystyle{ \frac{360^{\circ}}{n}}\) gdzie n to stopień pierwiastka czyli tu co \(\displaystyle{ 120^{\circ}}\)
a liczyć możesz z trygonometrycznej na tej samej zasadzie
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\varphi_z}{n} + k\cdot\frac{360^{\circ}}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\varphi_z}{n} + k\cdot\frac{360^{\circ}}{n}\right)\right)\\
k \in \mathbb{Z} \wedge 0 \le k < n}\)
oczywiście ułamki możesz na jedną kreskę wrzucić ale napisałem tak bo to jednoznacznie wynika z tego rysunku który zrobisz
pierwiastki oznaczasz jako \(\displaystyle{ \epsilon_0, \epsilon_1 \ldots \epsilon_{n-1}}\)
\(\displaystyle{ z = -1 + i\\
|z| = \sqrt{2}\\
\varphi_z = \frac{3}{4}\pi\\}\)
chcesz liczyć pierwiastki 3-go stopnia więc musisz najpierw narysować sobie okrąg o środku w początku płaszczyzny zespolonej o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt[3]{|z|} = \sqrt[3]{\sqrt{2}} = \sqrt[6]{2}}\)
teraz podziel sobie kąt \(\displaystyle{ \varphi_z}\) przez stopień pierwiastka czyli przez 3
\(\displaystyle{ \frac{\varphi_z}{3} = \frac{\pi}{4}}\)
więc pierwszy pierwiastek zaznaczasz na tym okręgu odchylony od OX o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) a każdy następny co \(\displaystyle{ \frac{360^{\circ}}{n}}\) gdzie n to stopień pierwiastka czyli tu co \(\displaystyle{ 120^{\circ}}\)
a liczyć możesz z trygonometrycznej na tej samej zasadzie
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\varphi_z}{n} + k\cdot\frac{360^{\circ}}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\varphi_z}{n} + k\cdot\frac{360^{\circ}}{n}\right)\right)\\
k \in \mathbb{Z} \wedge 0 \le k < n}\)
oczywiście ułamki możesz na jedną kreskę wrzucić ale napisałem tak bo to jednoznacznie wynika z tego rysunku który zrobisz
pierwiastki oznaczasz jako \(\displaystyle{ \epsilon_0, \epsilon_1 \ldots \epsilon_{n-1}}\)