pierwiastki z wielomianu i duże potęgi

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
kmph
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 5 paź 2013, o 16:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 7 razy

pierwiastki z wielomianu i duże potęgi

Post autor: kmph »

Zad. Liczby \(\displaystyle{ z_1}\) i \(\displaystyle{ z_2}\) są różnymi zespolonymi rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ z^2-\left(1+2i\right)z-1+3i=0}\). Wyznacz część rzeczywistą i urojoną liczby \(\displaystyle{ \left(\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}\right)^{2013}}\).

Moje rozwiązanie (prosiłbym tylko o sprawdzenie poprawności ):

\(\displaystyle{ z^2+\left(1+2i\right)z-1+3i=0\\\Delta=\left(1+2i\right)^2-4\cdot\left(-1+3i\right)=1-4+4i-12i=1-8i\\\sqrt{\Delta}=a+ib\\\left(a+ib\right)\left(a+ib\right)=1-8i\Rightarrow\begin{cases}a^2-b^2=1\Rightarrow\frac{16}{b^2}-b^2=1\Rightarrow16-b^4=b^2\Rightarrowb^4+b^2-16=0\\2ab=-8\Rightarrow ab=-4\Rightarrow a=-\frac4b\end{cases}\\b^4+b^2-16=0\\\Delta=1-4\cdot\left(-16\right)\Rightarrow\Delta=65\Rightarrow\sqrt{\Delta}=\sqrt{65}\Rightarrow\begin{cases}b_1^2=\frac{-1-\sqrt{65}}{2}\\b_2^2=\frac{-1+\sqrt{65}}{2}\end{cases}\\b\in\mathbb{R}\Rightarrow b^2=\frac{-1+\sqrt{65}}{2}\Rightarrow\begin{cases}b_1=\sqrt{\frac{-1+\sqrt{65}}{2}}\Rightarrow a_1=-\frac{4}{b}=-\frac{4}{\sqrt{-1+\sqrt{65}}{2}}}\\b_2=-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{65}}{2}}\Rightarrow a_2=\frac4b=\frac{4}{\sqrt{-1+\sqrt{65}}{2}}}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}z_1=-\frac{4}{b}=-\frac{4}{\sqrt{-1+\sqrt{65}}{2}}}+i\sqrt{\frac{-1+\sqrt{65}}{2}}\\z_2=\frac4b=\frac{4}{\sqrt{-1+\sqrt{65}}{2}}}-i\sqrt{\frac{-1+\sqrt{65}}{2}}\end{cases}\Rightarrow z_2=-z_1\Rightarrow\left(\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}\right)^{2013}=\left{\frac{1}{z_1}-\frac{1}{z_1}\right)^{2013}=0^{2013}=0\Rightarrow\mathfrak{Rz}\left(\left(\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}\right)^{2013}\right)=0\wedge\mathfrak{Iz}\left(\left(\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}\right)^{2013}\right)=0}\)

Dobrze czy źle? Trochę dziwne mi się wydaje, żeby rozwiązanie sprowadzało się po prostu do zera i to tak nagle...
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

pierwiastki z wielomianu i duże potęgi

Post autor: yorgin »

Nie sprawdzałem dokładnie rachunków, gdyż znalazłem w nich równość \(\displaystyle{ z_1=-z_2}\), co jest nieprawdziwym stwierdzeniem.
kmph
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 5 paź 2013, o 16:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 7 razy

pierwiastki z wielomianu i duże potęgi

Post autor: kmph »

Dlaczego nieprawda? Sprawdziłem obliczenia, jeśli przyjąć, że \(\displaystyle{ z_1=a+ib}\), to wychodzi na to, że \(\displaystyle{ z_2=-a-ib}\), to chyba uprawnia do wyłączenia \(\displaystyle{ -1}\) przed nawias?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

pierwiastki z wielomianu i duże potęgi

Post autor: yorgin »

Ze wzorów Viete'a mamy \(\displaystyle{ z_1+z_2=-\frac{b}{a}=1+2i}\). Z Twoich obliczeń \(\displaystyle{ z_1+z_2=0}\).
ODPOWIEDZ