Interpretacja geometryczna liczby zesplonej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Szajba666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 16 paź 2013, o 17:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 2 razy

Interpretacja geometryczna liczby zesplonej

Post autor: Szajba666 »

Mam takie coś przedstawić w postaci geometrycznej:

\(\displaystyle{ \left|z + i\right|=3}\)

Nie bardzo wiem co z tym zrobić. Mogę to liczyć tak ?:

\(\displaystyle{ \left|z\right|+\left|i\right| = 3}\)

Czy jest to nie poprawne i powinienem robić tak:

\(\displaystyle{ \left|x + yi +i\right|=3}\)
\(\displaystyle{ \left|x+(y+1)i\right|=3}\)

I co dalej z tym mogę zrobić ?
Jonarz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 2 paź 2013, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 11 razy

Interpretacja geometryczna liczby zesplonej

Post autor: Jonarz »

\(\displaystyle{ \left|x+(y+1)i\right|=3}\)
To rozumowanie jest dobre. Teraz musisz obliczyć moduł z liczby zespolonej (pierwiastek z sumy kwadratów części rzeczywistej i urojonej).
Szajba666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 16 paź 2013, o 17:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 2 razy

Interpretacja geometryczna liczby zesplonej

Post autor: Szajba666 »

\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+ (y+1)^{2} } =3}\)

To powinienem podnieść do kwadratu i doprowadzić do postaci?:

\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+2y = 8}\)

Czy znowu zaczynam wymyślać wyższą matematykę ?;>
Jonarz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 2 paź 2013, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 11 razy

Interpretacja geometryczna liczby zesplonej

Post autor: Jonarz »

Dobrze.
Wiesz jak wygląda wykres tego równania w układzie współrzędnych?
Szajba666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 16 paź 2013, o 17:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 2 razy

Interpretacja geometryczna liczby zesplonej

Post autor: Szajba666 »

Nie mam pojęcia ;(
Jonarz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 2 paź 2013, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 11 razy

Interpretacja geometryczna liczby zesplonej

Post autor: Jonarz »

page.php?p=kompendium-geometria-analityczna
Na samym dole.

Musisz odnieść to do swojego równania, dzięki czemu będziesz mógł przedstawić rozwiązanie na układzie współrzędnych.
Szajba666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 16 paź 2013, o 17:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 2 razy

Interpretacja geometryczna liczby zesplonej

Post autor: Szajba666 »

Czyli:

\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+2y-8=0}\)

\(\displaystyle{ r=\sqrt{(-1)^{2}-(-8)}=\sqrt{9}=3}\)

\(\displaystyle{ x^{2}+(y-1)^{2}=9}\)

I środkiem jest punkt: \(\displaystyle{ \left( 0,1\right)}\) ?
Jonarz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 2 paź 2013, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 11 razy

Interpretacja geometryczna liczby zesplonej

Post autor: Jonarz »

Tak, wszystko się zgadza

I rada na przyszłość (przeoczyłem to wcześniej):
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+ (y+1)^{2} } =3}\)
Podniesione obustronnie do kwadratu daje:
\(\displaystyle{ x^{2}+ (y+1)^{2} =9}\)
A z tego od razu odczytujemy współrzędne środka \(\displaystyle{ (0,1)}\) i promień \(\displaystyle{ r=\sqrt 9=3}\).
Szajba666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 16 paź 2013, o 17:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 2 razy

Interpretacja geometryczna liczby zesplonej

Post autor: Szajba666 »

Faktycznie ;] Dzięki wielkie.

Mam jeszcze jedno, jak byś mógł zerknąć czy dobrze:

\(\displaystyle{ \left|z+5\right|=\left|3i-z\right|}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{(x+5)^{2} + y^{2}} = \sqrt{(-x)^{2} + (3-y)^{2}}}\)

\(\displaystyle{ x^{2}+10x+25+y^{2}=x^{2}+9-6y+y^{2}}\)

\(\displaystyle{ 10x+6y=-16}\)

\(\displaystyle{ y=-\frac{5}{3} x- \frac{8}{3}}\)
Jonarz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 2 paź 2013, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 11 razy

Interpretacja geometryczna liczby zesplonej

Post autor: Jonarz »

Zgadza się.

Pomiędzy pierwszą i drugą linijką dobrze byłoby napisać (dla formalności):
\(\displaystyle{ z=x+yi}\)
I podstawić to do pierwszego równania, a dopiero po tym przejść dalej. Z takim zapisem nikt nie będzie mógł się przyczepić (jeśli chodzi np. o kolokwium na studiach)
Szajba666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 16 paź 2013, o 17:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 2 razy

Interpretacja geometryczna liczby zesplonej

Post autor: Szajba666 »

Tak, wiem. Nie chciałem wklepywać wszystkiego z zeszytu. Bo dopiero się oswajam z LateX'em ;)

Jeszcze raz wielkie dzięki za pomoc
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Interpretacja geometryczna liczby zesplonej

Post autor: yorgin »

W kwestii interpretacji geometrycznej:
Szajba666 pisze: \(\displaystyle{ \left|z+5\right|=\left|3i-z\right|}\)
Jest to zbiór punktów na płaszczyźnie zespolonej równo oddalonych od \(\displaystyle{ -5}\) oraz \(\displaystyle{ -3i}\). A więc mamy zwyczajną symetralną odcinka. Przy tej obserwacji spodziewamy się, że wynik będzie równaniem prostej postaci \(\displaystyle{ y=ax+b}\), i tak faktycznie jest:
Szajba666 pisze: \(\displaystyle{ y=-\frac{5}{3} x- \frac{8}{3}}\)

Podobnie można pierwsze zadanie przetłumaczyć na zbiór punktów równo oddalonych od pewnego danego - zwyczajny okrąg. Taka interpretacja pomaga
Szajba666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 16 paź 2013, o 17:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 2 razy

Interpretacja geometryczna liczby zesplonej

Post autor: Szajba666 »

Parę udało mi się rozwiązać i już to idzie sprawnie. Ale teraz utknąłem na tym:

1) \(\displaystyle{ \begin{cases} \arg z =k \frac{ \pi }{4} \\ \left|z\right|=1 \end{cases}}\)

2) \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4} < \arg z \le \pi}\)
Ostatnio zmieniony 16 paź 2013, o 23:09 przez bakala12, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Argument to \arg.
ODPOWIEDZ