Postać trygonometryczna - ciąg geometryczny?

[Jonarz]

Treść zadania:

Korzystając ze wzoru de Moivre'a wykazać, że:
\(\displaystyle{ \sin x+\sin 2x+...+\sin nx= \frac{\sin \frac{1}{2}(n+1) \sin \frac{1}{2}nx }{\sin \frac{1}{2}x}}}\)
\(\displaystyle{ \cos x+\cos 2x+...+\cos nx= \frac{\cos \frac{1}{2}(n+1) \sin \frac{1}{2}nx }{\sin \frac{1}{2}x}}}\)

Myślałem, że może dodać lewe strony obu równań do siebie, wtedy dostaniemy coś takiego:
\(\displaystyle{ \sin x+\cos x+\sin 2x+\cos 2x+...+\sin nx+\cos nx}\)
Pogrupowane:
\(\displaystyle{ (\sin x+\cos x)+(\sin 2x+\cos 2x)+...+(\sin nx+\cos nx)}\)
Ze wzoru de Moivre'a:
\(\displaystyle{ (\sin x+\cos x)+(\sin x+\cos x)^{2}+...+(\sin x+\cos x)^{n}}\)
Jest to suma \(\displaystyle{ n}\) wyrazów ciągu geometrycznego, którego pierwszy wyraz to:
\(\displaystyle{ (\sin x+\cos x)}\)
Teraz nie jestem pewien - czy iloczynem będzie również?:
\(\displaystyle{ (\sin x+\cos x)}\)
(bo \(\displaystyle{ q= \frac{ a_{n} }{a_{n-1}}}\))

W takim razie wyżej wspomniana suma będzie zapisana jako:
\(\displaystyle{ (\sin x+\cos x) \cdot \frac{1-(\sin x+\cos x)^{n}}{1-(\sin x+\cos x)}}\)
Czy to się zgadza? Bo dalej dochodzę do dość nieprzyjemnych rachunków i nie wiem czy jest jakikolwiek sens to liczyć, jeśli rozumowanie nie jest dobre. Proszę o pomoc

[yorgin]

\(\displaystyle{ (\sin x+\cos x)+(\sin 2x+\cos 2x)+...+(\sin nx+\cos nx)}\)
Ze wzoru de Moivre'a:
\(\displaystyle{ (\sin x+\cos x)+(\sin x+\cos x)^{2}+...+(\sin x+\cos x)^{n}}\)

Tu gdzieś \(\displaystyle{ i}\) brakuje. Dalej również.

Idea jest dobra. We wzorze na końcu sprawdź sobie jeszcze wykładnik w liczniku.

A jak to wykończyć?

Jak powstawiasz \(\displaystyle{ i}\), to zauważ, że część rzeczywista lewej strony to suma cosinusów, więc część rzeczywista ułamka z prawej strony to również ta suma. Podobnie z częściami urojonymi z tym, że będą tu cosinusy brane pod uwagę.

[Jonarz]

Tu gdzieś \(\displaystyle{ i}\) brakuje. Dalej również.

Tak właśnie myślałem, ale nie wiedziałem za bardzo jak wprowadzić \(\displaystyle{ i}\) do równania. Nie mogę chyba po prostu wpisać wszędzie \(\displaystyle{ i}\) przed sinusami?

Idea jest dobra. We wzorze na końcu sprawdź sobie jeszcze wykładnik w liczniku.

Powinno być tak?:
\(\displaystyle{ (\sin x+\cos x) \cdot \frac{1-(\sin x+\cos x)^{n-1}}{1-(\sin x+\cos x)}}\)

Jak powstawiasz i, to zauważ, że część rzeczywista lewej strony to suma cosinusów, więc część rzeczywista ułamka z prawej strony to również ta suma. Podobnie z częściami urojonymi z tym, że będą tu cosinusy brane pod uwagę.

Nie do końca rozumiem. Czy po prawej stronie w obu równaniach nie mam tylko części rzeczywistych (lub tylko urojonych)? Jeśli "wrzucę" gdzieś i, to cały ułamek stanie się urojony, prawda? Czy chodzi o to, żeby pomnożyć wynik z sinusów przez \(\displaystyle{ i}\)?
Mógłbyś jakoś to ogólnie rozwinąć, bo nie wiem jak ruszyć z miejsca?

Dziękuję za odpowiedź!

[yorgin]

To może zrobimy to na prostym przykladzie.

\(\displaystyle{ \sin x+\sin 2x= ?}\)

\(\displaystyle{ \cos x+\cos 2x= ?}\)

Mamy

\(\displaystyle{ (\cos x+i\sin x)+(\cos 2x+i\sin 2x)=(\cos x+i\sin x)+(\cos x+i\sin x)^2=(\cos x+i\sin x)\frac{1-(\cos x+i\sin x)^2}{1-(\cos x+i\sin x)}}\)

Widzę teraz, że byłem niedokładny w poprzednim poście. Tutaj jednak nadrabiam

Dalej, zauważ, że

\(\displaystyle{ \cos x+\cos 2x=\Re \left[(\cos x+i\sin x)+(\cos 2x+i\sin 2x)\right]=\Re \left[(\cos x+i\sin x)\frac{1-(\cos x+i\sin x)^2}{1-(\cos x+i\sin x)}\right]}\)

oraz

\(\displaystyle{ \sin x+\sin 2x=\Im \left[(\cos x+i\sin x)+(\cos 2x+i\sin 2x)\right]=\Im \left[(\cos x+i\sin x)\frac{1-(\cos x+i\sin x)^2}{1-(\cos x+i\sin x)}\right]}\)

Teraz wystarczy więc ułamek

\(\displaystyle{ (\cos x+i\sin x)\frac{1-(\cos x+i\sin x)^2}{1-(\cos x+i\sin x)}}\)

zapisać tak, by wydzielona była z niego część rzeczywista oraz urojona. Wiem, że będzie to dość karkołomne zadanie, ale to jest właśnie kluczowa część rozumowania.

Na końcu wystarczy zauważyć, że całe rozumowanie można w sposób oczywisty przerobić na dowolną ilość składników.

[Jonarz]

Teraz jest to o wiele jaśniejsze, wielkie dzięki! Tylko teraz mam problem z wyrażeniem \(\displaystyle{ 1-(i \sin x+\cos x)^{n}}\) - nie wiem jak to spotęgować, a żaden zapis ogólny chyba tu nie pomoże... Chyba, że jest jakiś inny sposób na rozdzielenie tego, co jest wewnątrz tego na część rzeczywistą i urojoną? Zadanie rzeczywiście karkołomne...

[yorgin]

Hmm...

\(\displaystyle{ (\cos x +i\sin x)^n=\cos nx+i\sin nx}\)

[Jonarz]

No tak, o czym ja myślę...

Doszedłem do takich postaci:
\(\displaystyle{ \frac{\cos nx \sin x + \sin nx \cos x+\sin x}{\sin x}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sin nx \sin x + \cos x+\cos x \cos nx}{1 - \cos x}}\)

Czy w pierwszym wypadku powyżej mogę wyłączyć \(\displaystyle{ \sin x}\) przed nawias? Dałoby to coś takiego (chyba?):
\(\displaystyle{ \cos nx + \sin (n-1)x \cos x + 1}\)

Chociaż ani pierwszy ani drugi wynik nie wydaje się zbliżać mnie do wyniku, do którego muszę dojść...

[yorgin]

Twoje rezultaty odbiegają od poprawnych. Dla ułatwienia zapiszę w postaci wykładniczej:

\(\displaystyle{ e^{ix}\frac{(1-e^{inx})(1-e^{-ix})}{(1-e^{ix})(1-e^{ix})}=\\
\\
\frac{(1-e^{inx})(e^{ix}-1)}{2-2\cos x}=\frac{(\cos x-1+\cos x-\cos(n+1)x)+i(\sin x+\sin nx-\sin(n+1)x)}{4\sin^2 \frac{x}{2}}}\)

Idąc dalej:

\(\displaystyle{ \sin x+\sin nx -\sin (n+1)x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-2\sin\frac{x}{2}\cos\left(n+\frac{1}{2}\right)x}\)

A więc

\(\displaystyle{ \sum\limits_{k=1}^n \sin kx =\frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-2\sin\frac{x}{2}\cos\left(n+\frac{1}{2}\right)x}{4\sin^2\frac{x}{2}}=\frac{\cos \frac{x}{2}-\cos\left(n+\frac{1}{2}\right)x}{2\sin\frac{t}{2}}=\frac{\sin\frac{n+1}{2}x\sin\frac{n+1}{2}x}{\sin\frac{x}{2}}}\)

Cosinusy pozostawiam Tobie. Ja padam.

P.S. W całym rozumowaniu non stop korzysta się ze wzorów na sumę funkcji trygonometrycznych.

[Jonarz]

Bardzo dziękuję za pomoc! Wydaje się to już jaśniejsze

[yorgin]

Notabene, istnieje wręcz trywialny sposób wyznaczania powyższych wzorów. Sposób tak genialny, że aż człowiek wpada w zachwyt.



Ale to już traktuj jako ciekawostkę.