Myślałem, że może dodać lewe strony obu równań do siebie, wtedy dostaniemy coś takiego:Korzystając ze wzoru de Moivre'a wykazać, że:
\(\displaystyle{ \sin x+\sin 2x+...+\sin nx= \frac{\sin \frac{1}{2}(n+1) \sin \frac{1}{2}nx }{\sin \frac{1}{2}x}}}\)
\(\displaystyle{ \cos x+\cos 2x+...+\cos nx= \frac{\cos \frac{1}{2}(n+1) \sin \frac{1}{2}nx }{\sin \frac{1}{2}x}}}\)
\(\displaystyle{ \sin x+\cos x+\sin 2x+\cos 2x+...+\sin nx+\cos nx}\)
Pogrupowane:
\(\displaystyle{ (\sin x+\cos x)+(\sin 2x+\cos 2x)+...+(\sin nx+\cos nx)}\)
Ze wzoru de Moivre'a:
\(\displaystyle{ (\sin x+\cos x)+(\sin x+\cos x)^{2}+...+(\sin x+\cos x)^{n}}\)
Jest to suma \(\displaystyle{ n}\) wyrazów ciągu geometrycznego, którego pierwszy wyraz to:
\(\displaystyle{ (\sin x+\cos x)}\)
Teraz nie jestem pewien - czy iloczynem będzie również?:
\(\displaystyle{ (\sin x+\cos x)}\)
(bo \(\displaystyle{ q= \frac{ a_{n} }{a_{n-1}}}\))
W takim razie wyżej wspomniana suma będzie zapisana jako:
\(\displaystyle{ (\sin x+\cos x) \cdot \frac{1-(\sin x+\cos x)^{n}}{1-(\sin x+\cos x)}}\)
Czy to się zgadza? Bo dalej dochodzę do dość nieprzyjemnych rachunków i nie wiem czy jest jakikolwiek sens to liczyć, jeśli rozumowanie nie jest dobre. Proszę o pomoc