pierwiastek z liczby zespolonej

[naznaczony]

hej, mam problem z pierwiastkiem liczby zespolonej, na kartce mam coś innego i wolphram pokazuje mi coś innego.
\(\displaystyle{ z=\sqrt[4]{-81}}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| =81}\)
\(\displaystyle{ \cos \phi=-1

\sin \phi=0}\)

\(\displaystyle{ \omega_{0}= \left( \cos \frac{0 \pi }{4} + i \sin \frac{0 \pi }{4} \right) =3\sqrt[4]{-1} \left( -1+0 \right) =-3\sqrt[4]{-1}}\)
\(\displaystyle{ \omega_{1}=3\sqrt[4]{-1} \left( \cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2} \right) =3\sqrt[4]{-1}i}\)
\(\displaystyle{ \omega_{2}=3\sqrt[4]{-1} \left( \cos \frac{4\pi}{2}+i\sin \frac{4\pi}{2} \right) =3\sqrt[4]{-1}}\)
\(\displaystyle{ \omega_{3}=3\sqrt[4]{-1} \left( \cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2} \right) =3\sqrt[4]{-1} \left( \cos \left( \pi+\frac{1}{2}\pi \right) +i\sin + \left( \pi+\frac{\pi}{2} \right)\right) =3\sqrt[4]{-1} \left( -\cos \frac{\pi}{2}-i\sin \frac{\pi}{2}\right)=-3\sqrt[4]{-1}i}\)
soł łer is maj błąd?

[chris_f]

\(\displaystyle{ \omega_0=\sqrt[4]{81}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)=3\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)}\)
\(\displaystyle{ \omega_1=3\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)}\)
\(\displaystyle{ \omega_1=3\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right)}\)
\(\displaystyle{ \omega_1=3\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right)}\)
Wartości sinusów i cosinusów już sobie policzysz.

[naznaczony]

Przepraszam, ale skąd wziąłeś \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) ? : O

[yorgin]

\(\displaystyle{ z=\sqrt[4]{-81}}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| =81}\)
\(\displaystyle{ \cos \phi=-1\\
\sin \phi=0}\)

No przy takim zapisie \(\displaystyle{ |z|}\) na pewno nie jest równy \(\displaystyle{ 81}\).

\(\displaystyle{ \omega_{0}= \left( \cos \frac{0 \pi }{4} + i \sin \frac{0 \pi }{4} \right) =3\sqrt[4]{-1} \left( -1+0 \right) =-3\sqrt[4]{-1}}\)

To ile w końcu wynosi \(\displaystyle{ \sqrt[4]{-1}}\) ? Te obliczenia się kupy nie trzymają, bo nijak nie uwzględniają położenia liczby podpierwiastkowej na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \CC}\).

Wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ \sqrt[4]{-81}=3\sqrt[4]{-1}}\) i wyznaczyć pierwiastek, co już powyżej zostało wskazane.

[chris_f]

Skoro \(\displaystyle{ \cos\varphi=-1}\) oraz \(\displaystyle{ \sin\varphi=0}\) to mamy, że \(\displaystyle{ \varphi=\pi}\).
A potem tylko podstawianie do wzoru na pierwiastki
\(\displaystyle{ \omega_k=\sqrt[4]{|z|}\left(\cos\frac{\pi+2k\pi}{4}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{4}\right)}\)
gdzie \(\displaystyle{ k=0,1,2,3}\)

[naznaczony]

<epic facepalm>
w ogóle tego nie zauważyłem, bądź co bądź dziękuję Wam obu.

ps. nie wiem czemu, ale przy obliczaniu kolejnych\(\displaystyle{ \omega}\) we wzorze pisałem, że \(\displaystyle{ \phi=0}\)-- 15 paź 2013, o 22:20 --

No przy takim zapisie \(\displaystyle{ |z|}\) na pewno nie jest równy \(\displaystyle{ 81}\).

teraz mnie to tknęło..., pogubiłem się całkiem. skoro \(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
aż głupio mi pytać, ale mógłbyś to rozpisać ? .__.
np. \(\displaystyle{ \sqrt[6]{-64}}\)
więc muszę skorzystać, że wzoru
\(\displaystyle{ \omega_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\frac{\phi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\phi+2k\pi}{n}\right)}\)
obliczam moduł mojej liczby, czyli
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(\displaystyle{ a=-64

b=0}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{(-64)^{2}+(0)^{2}}= \sqrt{4096}=64}\)
ale to nawet na "logikę" nie pasuje .__.
wyciągnąłem sobie też tak jak wyżej pisaliście, a mianowicie: \(\displaystyle{ 2 \sqrt[6]{-1}}\)
no i bardzo fajnie, tylko jak z tego policzyć \(\displaystyle{ \phi}\)?