Zbiory liczb rzeczywistych na płaszczyźnie zespolonej

[Brenda99]

Witam. Mam problem z rozwiązaniem jednego z przykładów z zadania o treści:
Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb zespolonych spełniających podane warunki; przykład:
\(\displaystyle{ \Re \left( \frac{1}{z} \right) > \Im \left( iz \right)}\)

A także przykład z zadania: Porównując części rzeczywiste i urojone obu stron równań znaleźć ich rozwiązanie: \(\displaystyle{ \left( 1 + 3i \right) z + \left( 2 - 5i \right) \overline{z} = 2i - 3}\)

Byłabym wdzięczna za pomoc, naprowadzenie, jakieś wskazówki, z góry dziękuje

[chris_f]

W tego typu zadaniach najczęściej za liczbę zespoloną wstawia się postać algebraiczną, czyli \(\displaystyle{ z=x+iy}\).
Dostaniemy wtedy
\(\displaystyle{ \Re\left(\frac{1}{x+iy}\right)>\Im i(x+iy)}\)
\(\displaystyle{ \Re\frac{x-iy}{x^2+y^2}>\Im(-y+ix)}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{x^2+y^2}>x}\)
Możemy podzielić obustronnie przez \(\displaystyle{ x}\) (bo dla \(\displaystyle{ x=0}\) nierówność nie jest prawdziwa)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^2+y^2}>1}\)
\(\displaystyle{ 1>x^2+y^2}\)
a taka nierówność opisuje wnętrze koła o środku w początku układu i promieniu 1. Z tego wnętrza wyrzucamy jeszcze punkty na osi rzeczywistej.

W drugim robisz analogicznie, podstawiasz, wykonujesz działania i porównujesz części rzeczywiste i urojone. Dostaniesz układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

[bakala12]

Możemy podzielić obustronnie przez x

Nie możemy!

[chris_f]

@bakala12
Pozwól, że zacytuję fragment mojego postu:

Możemy podzielić obustronnie przez x (bo dla x=0 nierówność nie jest prawdziwa)

Może zamiast tak stanowczo przedstawiać swoje poglądy, najpierw doczytaj całość tekstu.

Kwestię ewentualnej zmiany znaku nierówności pominąłem, bo na etapie operacji na liczbach zespolonych wydawała mi się dosyć oczywista.
Natomiast samo dzielenie jest jak najbardziej dopuszczalne.

[bakala12]

Kwestię ewentualnej zmiany znaku nierówności pominąłem, bo na etapie operacji na liczbach zespolonych wydawała mi się dosyć oczywista.

Oczywiste nie oczywiste napisać coś nie coś na ten temat trzeba.

[chris_f]

Pewnie masz rację, ale wydaje mi się, że ktoś kto ma operować na liczbach zespolonych pewne rzeczy powinien mieć opanowane.
Faktycznie, to chyba był za duży skrót od wykluczenia zerowych \(\displaystyle{ x}\)-ów do dzielenia nierówności stronami przez zmienną, ale to nie miało być pełne rozwiązanie tylko zaprezentowanie pewnego schematu rozumowania. Mam nadzieję, że autorce pomogło, w razie potrzeby napiszę pełne rozwiązanie ze wszystkimi szczegółami.

[Brenda99]

Jakbyś mógł napisać pełne rozwiązanie to byłabym wdzięczna bo jednak to są moje początki z liczbami zespolonymi i pewne rzeczy z początku mogą wydawać się niezrozumiałe.

[chris_f]

To może najpierw drugie:
\(\displaystyle{ (1+3i)z+(2-5i)\bar{z}=2i-3}\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ z=x+iy}\) i dostajemy
\(\displaystyle{ (1+3i)(x+iy)+(2-5i)(x-iy)=2i-3}\)
\(\displaystyle{ x+iy+3xi-3y+2x-2yi-5xi-5y=2i-3}\)
\(\displaystyle{ 3x-8y+(-2x-y)i=2i-3}\)
Teraz porównujemy części rzeczywiste i urojone po obu stronach otrzymując
\(\displaystyle{ \begin{cases}3x-8y=-3\\-2x-y=2\end{cases}}\)
Drugie równanie pomnożone przez \(\displaystyle{ -8}\) dodaję do pierwszego
\(\displaystyle{ 19x=-19}\)
\(\displaystyle{ x=-1}\)
Wstawiam to do drugiego
\(\displaystyle{ 2-y=2}\)
\(\displaystyle{ y=0}\)
Ostatecznie rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ z=-1}\).

W pierwszym rzeczywiście trochę namieszałem, dlatego teraz krok po kroku.
Podstawienie jest typowe \(\displaystyle{ z=x+iy}\) i dostajemy
\(\displaystyle{ \Re\left(\frac{1}{x+iy}\right)>\Im i(x+iy)}\)
Wykonujemy działania (po lewej mnożąc przez sprzężenie licznik i mianownik, po prawej normalnie)
\(\displaystyle{ \Re\frac{x-iy}{x^2+y^2}>\Im(-y+ix)}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{x^2+y^2}>x}\)
No i teraz ten problematyczny krok. Widzimy, że dla \(\displaystyle{ x=0}\) nierówność na pewno nie jest prawdziwa, dlatego przy założeniu, że \(\displaystyle{ x\neq0}\) możemy podzielić obustronnie przez \(\displaystyle{ x}\).
Ale tu pojawia się kolejny problem, bo dzieląc przez \(\displaystyle{ x}\) musimy zrobić to osobno dla \(\displaystyle{ x<0}\) i dla \(\displaystyle{ x>0}\).
W pierwszym przypadku dostaniemy
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^2+y^2}<1,\quad dla\ x<0}\)
w drugim
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^2+y^2}>1,\quad dla\ x>0}\)
Tak czy inaczej mnożymy obustronnie przez \(\displaystyle{ x^2+y^2}\) i dostaniemy
\(\displaystyle{ 1<x^2+y^2,\ dla\ x<0}\)
oraz
\(\displaystyle{ 1>x^2+y^2,\ dla\ x>0}\)
W jednym i drugim przypadku dostajemy okrąg o środku w \(\displaystyle{ (0,0)}\) i promieniu jeden, tyle, że pierwsza nierówności opisuje zewnętrze tego okręgu, druga wnętrze. Obszar wygląda tak (to ten zielony), czerwone linie nie należą do tego obszaru.