Witam, prosiłbym o małą pomoc:
1.\(\displaystyle{ \left| \overline{z}+2-3i\right| \ge 5}\)
Mój pomysł:
\(\displaystyle{ \left| \overline{z}+2-3i\right|=\left| \overline{z}-\left[ (-2)+3i\right\right]\right|}\)
i rozwiązaniem będzie zewnętrze koła o promieniu 5 ze środkiem w punkcie o współżędnych ( tu nie jestem pewny): \(\displaystyle{ z=\left(-2,-3 \right)}\)
2. \(\displaystyle{ \left| \frac{z-3i}{z} \right| \ge 1}\)
Brak pomysłu.
wyznaczyć i narysować zbiory liczb zespolonych
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
wyznaczyć i narysować zbiory liczb zespolonych
1. Masz rację. Ładniej będzie to może rozpisać. Niech \(\displaystyle{ z=x+iy}\). Wówczas mamy \(\displaystyle{ |\overline{z}+2-3i|=|(x+2)-(y+3)i|=\sqrt{(x+2)^2+(y+3)^2}}\). To daje nierówność równoważną \(\displaystyle{ (x+2)^2+(y+3)^2\ge 25}\).
2. Wykluczając przypadek \(\displaystyle{ z=0}\) możemy pomnożyć nierówność stronami przez \(\displaystyle{ |z|}\) uzyskując \(\displaystyle{ |z-3i|\ge|z|}\).
Podobnie jak w 1. przyjmiemy \(\displaystyle{ z=x+iy}\). Stąd mamy \(\displaystyle{ x^2+(y-3)^2\ge x^2+y^2}\), tj. \(\displaystyle{ y\le\frac{3}{2}}\). Zatem rozwiązanie stanowi zbiór postaci \(\displaystyle{ \left\{ z\in\CC:\mbox{Im}\ z\le\frac{3}{2} \right\} \setminus\{0\}}\).
2. Wykluczając przypadek \(\displaystyle{ z=0}\) możemy pomnożyć nierówność stronami przez \(\displaystyle{ |z|}\) uzyskując \(\displaystyle{ |z-3i|\ge|z|}\).
Podobnie jak w 1. przyjmiemy \(\displaystyle{ z=x+iy}\). Stąd mamy \(\displaystyle{ x^2+(y-3)^2\ge x^2+y^2}\), tj. \(\displaystyle{ y\le\frac{3}{2}}\). Zatem rozwiązanie stanowi zbiór postaci \(\displaystyle{ \left\{ z\in\CC:\mbox{Im}\ z\le\frac{3}{2} \right\} \setminus\{0\}}\).
-
Lider_M
- Użytkownik
- Posty: 867
- Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: MiNI PW
- Pomógł: 258 razy
wyznaczyć i narysować zbiory liczb zespolonych
Albo zamiast korzystać z postaci algebraicznej
1. możemy skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ |z|=|\overline{z}|}\), i wtedy:
\(\displaystyle{ |\overline{z}+2-3i|\geqslant 5}\)
\(\displaystyle{ |\overline{\overline{z}+2-3i}|\geqslant 5}\)
\(\displaystyle{ |z+2+3i|\geqslant 5}\)
\(\displaystyle{ |z-(-2-3i)|\geqslant 5}\)
i teraz można skorzystać z interpretacji geometrycznej.
2. \(\displaystyle{ z\neq 0}\).
Wtedy \(\displaystyle{ |z-3i|\geqslant |z-0|}\). Są to punkty, których odległość od punktu \(\displaystyle{ 3i}\) jest większa niż odległość od \(\displaystyle{ 0}\) - te punkty wyznaczają odpowiednią półpłaszczyznę, która leży "poniżej" prostej \(\displaystyle{ Im z=1.5i}\), czyli symetralnej odcinka między punktami \(\displaystyle{ 0}\) oraz \(\displaystyle{ 3i}\).
1. możemy skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ |z|=|\overline{z}|}\), i wtedy:
\(\displaystyle{ |\overline{z}+2-3i|\geqslant 5}\)
\(\displaystyle{ |\overline{\overline{z}+2-3i}|\geqslant 5}\)
\(\displaystyle{ |z+2+3i|\geqslant 5}\)
\(\displaystyle{ |z-(-2-3i)|\geqslant 5}\)
i teraz można skorzystać z interpretacji geometrycznej.
2. \(\displaystyle{ z\neq 0}\).
Wtedy \(\displaystyle{ |z-3i|\geqslant |z-0|}\). Są to punkty, których odległość od punktu \(\displaystyle{ 3i}\) jest większa niż odległość od \(\displaystyle{ 0}\) - te punkty wyznaczają odpowiednią półpłaszczyznę, która leży "poniżej" prostej \(\displaystyle{ Im z=1.5i}\), czyli symetralnej odcinka między punktami \(\displaystyle{ 0}\) oraz \(\displaystyle{ 3i}\).