równanie zespolone
- waliant
- Użytkownik
- Posty: 1801
- Rejestracja: 9 gru 2010, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 275 razy
- Pomógł: 183 razy
równanie zespolone
\(\displaystyle{ \left( i+z\right) ^{4}=\left( -1-z\right) ^{4}}\). Nie mam pomysłu z czego korzystać.Zaczynam z wykładniczej ale zostaję na: \(\displaystyle{ \left( e ^{i \frac{ \pi }{2} }+ re ^{i \alpha } \right) ^{4} = \left( e ^{i \pi }-re ^{i \alpha } \right) ^{4}}\)
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
równanie zespolone
Wyznacz \(\displaystyle{ z}\) z tego, co napisałem. Wyznacz również \(\displaystyle{ \sqrt[4]{1}}\)waliant pisze:szczerze mowiac to nie wiem co dalej
Jeśli \(\displaystyle{ w^4=y^4}\), to \(\displaystyle{ w=\sqrt[4]{1}y}\). Podnieś do czwartej potęgi to ostatnie, by się o tym przekonać.waliant pisze: dlaczego \(\displaystyle{ i+z=\sqrt[4]{1}(1+z)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 121
- Rejestracja: 8 paź 2013, o 17:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hd
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 44 razy
równanie zespolone
Formalizując nieco rozwiązanie powyżej:
Jedno z rozwiązań można otrzymać z równania: \(\displaystyle{ i+z=-1-z}\).
Wychodzi.
\(\displaystyle{ z=-\frac{1+i}{2}}\)
Niech teraz:
\(\displaystyle{ \varepsilon_k=\cos\frac{k\pi}2+i\sin\frac{k\pi}2}\) dla \(\displaystyle{ k=0,1,2,3}\).
Wówczas \(\displaystyle{ \varepsilon_k^4=1}\) dla każdego \(\displaystyle{ k}\) i wobec tego liczby
\(\displaystyle{ -\frac{1+i}{2}\cdot \varepsilon_k}\)
są wszystkimi możliwymi rozwiązaniami danego równania, bo to cztery różne liczby a wielomian czwartego stopnia ma niewięcej niż cztery różne rozwiązania.
Jedno z rozwiązań można otrzymać z równania: \(\displaystyle{ i+z=-1-z}\).
Wychodzi.
\(\displaystyle{ z=-\frac{1+i}{2}}\)
Niech teraz:
\(\displaystyle{ \varepsilon_k=\cos\frac{k\pi}2+i\sin\frac{k\pi}2}\) dla \(\displaystyle{ k=0,1,2,3}\).
Wówczas \(\displaystyle{ \varepsilon_k^4=1}\) dla każdego \(\displaystyle{ k}\) i wobec tego liczby
\(\displaystyle{ -\frac{1+i}{2}\cdot \varepsilon_k}\)
są wszystkimi możliwymi rozwiązaniami danego równania, bo to cztery różne liczby a wielomian czwartego stopnia ma niewięcej niż cztery różne rozwiązania.