równanie zespolone

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
waliant
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1801
Rejestracja: 9 gru 2010, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 275 razy
Pomógł: 183 razy

równanie zespolone

Post autor: waliant »

\(\displaystyle{ \left( i+z\right) ^{4}=\left( -1-z\right) ^{4}}\). Nie mam pomysłu z czego korzystać.Zaczynam z wykładniczej ale zostaję na: \(\displaystyle{ \left( e ^{i \frac{ \pi }{2} }+ re ^{i \alpha } \right) ^{4} = \left( e ^{i \pi }-re ^{i \alpha } \right) ^{4}}\)
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

równanie zespolone

Post autor: yorgin »

\(\displaystyle{ (-1-z)^4=(1+z)^4}\)

Po spierwiastkowaniu:

\(\displaystyle{ i+z=\sqrt[4]{1}(1+z)}\)

Dalej już łatwo.
Awatar użytkownika
waliant
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1801
Rejestracja: 9 gru 2010, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 275 razy
Pomógł: 183 razy

równanie zespolone

Post autor: waliant »

szczerze mowiac to nie wiem co dalej i dlaczego \(\displaystyle{ i+z=\sqrt[4]{1}(1+z)}\)
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

równanie zespolone

Post autor: yorgin »

waliant pisze:szczerze mowiac to nie wiem co dalej
Wyznacz \(\displaystyle{ z}\) z tego, co napisałem. Wyznacz również \(\displaystyle{ \sqrt[4]{1}}\)
waliant pisze: dlaczego \(\displaystyle{ i+z=\sqrt[4]{1}(1+z)}\)
Jeśli \(\displaystyle{ w^4=y^4}\), to \(\displaystyle{ w=\sqrt[4]{1}y}\). Podnieś do czwartej potęgi to ostatnie, by się o tym przekonać.
Naed Nitram
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 121
Rejestracja: 8 paź 2013, o 17:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hd
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 44 razy

równanie zespolone

Post autor: Naed Nitram »

Formalizując nieco rozwiązanie powyżej:
Jedno z rozwiązań można otrzymać z równania: \(\displaystyle{ i+z=-1-z}\).
Wychodzi.

\(\displaystyle{ z=-\frac{1+i}{2}}\)

Niech teraz:

\(\displaystyle{ \varepsilon_k=\cos\frac{k\pi}2+i\sin\frac{k\pi}2}\) dla \(\displaystyle{ k=0,1,2,3}\).

Wówczas \(\displaystyle{ \varepsilon_k^4=1}\) dla każdego \(\displaystyle{ k}\) i wobec tego liczby

\(\displaystyle{ -\frac{1+i}{2}\cdot \varepsilon_k}\)

są wszystkimi możliwymi rozwiązaniami danego równania, bo to cztery różne liczby a wielomian czwartego stopnia ma niewięcej niż cztery różne rozwiązania.
ODPOWIEDZ