Równanie opisujące pewną krzywą

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
lukasz_matma
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 3 maja 2013, o 18:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 6 razy

Równanie opisujące pewną krzywą

Post autor: lukasz_matma »

Witam,
Liczby zespolone miałem dość dawno temu, natomiast muszę się uporać z następującym zadaniem:
Jaką krzywą opisuje następujące równanie:
\(\displaystyle{ |z+1|^2=\Re(z+1)}\)
Wiem, że na pewno trzeba podstawić:
\(\displaystyle{ z=x+iy}\)
Ale niestety nie wiem jak to dalej kontynuować.
Będę wdzięczny za wszelką pomoc.
Ostatnio zmieniony 14 paź 2013, o 15:12 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10365
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Równanie opisujące pewną krzywą

Post autor: Chromosom »

Zgadza się. Potrafisz odczytać, jaka jest część rzeczywista i urojona? Zacznijmy od takiej liczby: \(\displaystyle{ z+1=x+\text iy+1}\).
lukasz_matma
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 3 maja 2013, o 18:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 6 razy

Równanie opisujące pewną krzywą

Post autor: lukasz_matma »

Rzeczywista: \(\displaystyle{ Re(z+1)=x+1}\), urojona: \(\displaystyle{ Im(z+1)=y}\)?
Naed Nitram
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 121
Rejestracja: 8 paź 2013, o 17:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hd
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 44 razy

Równanie opisujące pewną krzywą

Post autor: Naed Nitram »

Warto zacząć od przesuniecia. Niech \(\displaystyle{ w=z+1}\). Równanie wygląda wówczas tak:

\(\displaystyle{ |w|^2=\mathrm{Re}(w)}\)

\(\displaystyle{ |w|^2}\) to kwadrat odległości punktu \(\displaystyle{ w}\) od punktu \(\displaystyle{ 0}\). \(\displaystyle{ \mathrm{Re} (w)}\) natomiast to odległość punktu \(\displaystyle{ w}\) od prostej \(\displaystyle{ x=0}\).
Dla wygody oznaczmy:

\(\displaystyle{ x(w)=\mathrm{Re}(w)}\)

\(\displaystyle{ y(w)=\mathrm{Im}(w)}\)

Z tw. Pitagorasa:

\(\displaystyle{ (y(w))^2= |w|^2-(x(w))^2=x(w)-(x(w))^2}\).

I mamy równanie krzywej:

\(\displaystyle{ y^2=x-x^2}\)

lub równoważnie:

\(\displaystyle{ y^2+\left(x-\frac 12\right)^2=\frac 14}\)

Jest to okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ 1/2}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1/2}\). Wystarczy ten okrąg przesunąć o 1 w lewo (bo z=w-1) i mamy odpowiedź, czyli okrąg o równaniu:

\(\displaystyle{ y^2+\left(x+\frac 12\right)^2=\frac 14}\).
ODPOWIEDZ