Równanie zespolone z postacią wykładniczą

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
Assassin-Girl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 76
Rejestracja: 22 lut 2013, o 18:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Maczu-Pikczu
Podziękował: 33 razy

Równanie zespolone z postacią wykładniczą

Post autor: Assassin-Girl »

Witam.

Korzystając z postaci wykładniczej liczb zespolonych znajdź wszystkie rozwiązania równania:

\(\displaystyle{ z^{*} z^{n} = 2^{n+1}}\)

Nie mam do końca pewności, co mam właściwie zrobić z tą potęgą \(\displaystyle{ n}\). Jakby ktoś mógł mnie nakierować, to będę wdzięczna. ;)
Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10365
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Równanie zespolone z postacią wykładniczą

Post autor: Chromosom »

Zastosuj postać wykładniczą.

\(\displaystyle{ z=|r|e^{\text i\theta}}\)
Awatar użytkownika
Assassin-Girl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 76
Rejestracja: 22 lut 2013, o 18:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Maczu-Pikczu
Podziękował: 33 razy

Równanie zespolone z postacią wykładniczą

Post autor: Assassin-Girl »

\(\displaystyle{ r^{n+1}e^{i(n\theta - \theta)} = 2^{n+1}}\).

Wychodzi chyba na to, że \(\displaystyle{ r=2}\) i \(\displaystyle{ n\theta - \theta = 0 + 2k\pi}\), ale pewności do końca nie mam.
Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10365
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Równanie zespolone z postacią wykładniczą

Post autor: Chromosom »

Zgadza się, takie jest rozwiązanie. Należy jeszcze podać jawny wzór na \(\displaystyle{ \theta}\) i oddzielnie opisać przypadek, gdy \(\displaystyle{ n=1}\).
Awatar użytkownika
Assassin-Girl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 76
Rejestracja: 22 lut 2013, o 18:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Maczu-Pikczu
Podziękował: 33 razy

Równanie zespolone z postacią wykładniczą

Post autor: Assassin-Girl »

Dzięki wielkie.

...żeby nie zakładać nowego tematu, mam takie równanie: \(\displaystyle{ \sin (z) = 2}\). Znalazłam podobne zadanie na forum, ale dla \(\displaystyle{ \cos (z)}\) bodajże i utknęłam pod koniec.

Wyszłam ze wzoru na \(\displaystyle{ \sin (z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}}\) i wyszło mi:

\(\displaystyle{ e^{iz} = i(2 \pm \sqrt{3})}\)

Wychodzi na to, że liczba na lewo jest urojona i nie wiem do końca jak dalej to pociągnąć, chyba że zastosowałam zły patent.
Ostatnio zmieniony 14 paź 2013, o 22:25 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10365
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Równanie zespolone z postacią wykładniczą

Post autor: Chromosom »

Rozwiązanie równania jest poprawne. Następnie można zapisać: \(\displaystyle{ e^{\text iz}=e^{a\text i+b}=e^b\cdot e^{a\text i}}\), skorzystać ze wzoru wiążącego funkcję \(\displaystyle{ e^x}\) i funkcje trygonometryczne i porównać części rzeczywiste i urojone.
Awatar użytkownika
Assassin-Girl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 76
Rejestracja: 22 lut 2013, o 18:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Maczu-Pikczu
Podziękował: 33 razy

Równanie zespolone z postacią wykładniczą

Post autor: Assassin-Girl »

Można zapytać, o który wzór wiążący funkcję chodzi?
Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10365
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Równanie zespolone z postacią wykładniczą

Post autor: Chromosom »

\(\displaystyle{ e^{i\theta}=\cos\theta+\text i\sin\theta}\)

Gdyby pojawiły się inne wątpliwości, proszę zadawać pytania.
Awatar użytkownika
Assassin-Girl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 76
Rejestracja: 22 lut 2013, o 18:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Maczu-Pikczu
Podziękował: 33 razy

Równanie zespolone z postacią wykładniczą

Post autor: Assassin-Girl »

Ok, czyli z prawej strony równania należy wyliczyć fazę, podstawić do wzoru i porównać części rzeczywiste i urojone?
Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10365
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Równanie zespolone z postacią wykładniczą

Post autor: Chromosom »

Zgadza się.
Awatar użytkownika
Assassin-Girl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 76
Rejestracja: 22 lut 2013, o 18:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Maczu-Pikczu
Podziękował: 33 razy

Równanie zespolone z postacią wykładniczą

Post autor: Assassin-Girl »

Udało się rozwiązać. Dzięki za pomoc.

Już ostatnie pytanie. Nie wiem jak zabrać się za taki przykład \(\displaystyle{ (1+i)^{2-i}}\). W sumie można rozbić tę potęgę i będziemy mieć iloraz. Licznik policzyłoby się bez kłopotu, ale nie wiedziałabym za bardzo jak wziąć się za mianownik: \(\displaystyle{ (1+i)^{i}}\).
Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10365
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Równanie zespolone z postacią wykładniczą

Post autor: Chromosom »

\(\displaystyle{ (1+\text i)^{2-\text i}=e^{(2-\text i)\ln(1+\text i)}\)

Następnie należy skorzystać z definicji logarytmu zespolonego.
Awatar użytkownika
Assassin-Girl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 76
Rejestracja: 22 lut 2013, o 18:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Maczu-Pikczu
Podziękował: 33 razy

Równanie zespolone z postacią wykładniczą

Post autor: Assassin-Girl »

\(\displaystyle{ e^{ \left( 2-i \right) \ln \left( 1+i \right) } = e^{ \left( 2-i \right) \left( \ln \sqrt{2} + i \left( \frac{\pi}{4} +2k\pi \right) \right) }}\)

Nie jestem do końca pewna czy o to właściwie chodziło. Wypadałoby teraz wszystko pomnożyć, ale to \(\displaystyle{ 2k\pi}\) mnie nurtuje.
Ostatnio zmieniony 18 paź 2013, o 19:31 przez Chromosom, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10365
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Równanie zespolone z postacią wykładniczą

Post autor: Chromosom »

Należy wybrać argument główny, czyli \(\displaystyle{ k=0}\).
ODPOWIEDZ