Równanie zespolone z postacią wykładniczą
- Assassin-Girl
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 22 lut 2013, o 18:32
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Maczu-Pikczu
- Podziękował: 33 razy
Równanie zespolone z postacią wykładniczą
Witam.
Korzystając z postaci wykładniczej liczb zespolonych znajdź wszystkie rozwiązania równania:
\(\displaystyle{ z^{*} z^{n} = 2^{n+1}}\)
Nie mam do końca pewności, co mam właściwie zrobić z tą potęgą \(\displaystyle{ n}\). Jakby ktoś mógł mnie nakierować, to będę wdzięczna.
Korzystając z postaci wykładniczej liczb zespolonych znajdź wszystkie rozwiązania równania:
\(\displaystyle{ z^{*} z^{n} = 2^{n+1}}\)
Nie mam do końca pewności, co mam właściwie zrobić z tą potęgą \(\displaystyle{ n}\). Jakby ktoś mógł mnie nakierować, to będę wdzięczna.
- Assassin-Girl
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 22 lut 2013, o 18:32
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Maczu-Pikczu
- Podziękował: 33 razy
Równanie zespolone z postacią wykładniczą
\(\displaystyle{ r^{n+1}e^{i(n\theta - \theta)} = 2^{n+1}}\).
Wychodzi chyba na to, że \(\displaystyle{ r=2}\) i \(\displaystyle{ n\theta - \theta = 0 + 2k\pi}\), ale pewności do końca nie mam.
Wychodzi chyba na to, że \(\displaystyle{ r=2}\) i \(\displaystyle{ n\theta - \theta = 0 + 2k\pi}\), ale pewności do końca nie mam.
-
- Moderator
- Posty: 10365
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1271 razy
Równanie zespolone z postacią wykładniczą
Zgadza się, takie jest rozwiązanie. Należy jeszcze podać jawny wzór na \(\displaystyle{ \theta}\) i oddzielnie opisać przypadek, gdy \(\displaystyle{ n=1}\).
- Assassin-Girl
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 22 lut 2013, o 18:32
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Maczu-Pikczu
- Podziękował: 33 razy
Równanie zespolone z postacią wykładniczą
Dzięki wielkie.
...żeby nie zakładać nowego tematu, mam takie równanie: \(\displaystyle{ \sin (z) = 2}\). Znalazłam podobne zadanie na forum, ale dla \(\displaystyle{ \cos (z)}\) bodajże i utknęłam pod koniec.
Wyszłam ze wzoru na \(\displaystyle{ \sin (z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}}\) i wyszło mi:
\(\displaystyle{ e^{iz} = i(2 \pm \sqrt{3})}\)
Wychodzi na to, że liczba na lewo jest urojona i nie wiem do końca jak dalej to pociągnąć, chyba że zastosowałam zły patent.
...żeby nie zakładać nowego tematu, mam takie równanie: \(\displaystyle{ \sin (z) = 2}\). Znalazłam podobne zadanie na forum, ale dla \(\displaystyle{ \cos (z)}\) bodajże i utknęłam pod koniec.
Wyszłam ze wzoru na \(\displaystyle{ \sin (z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}}\) i wyszło mi:
\(\displaystyle{ e^{iz} = i(2 \pm \sqrt{3})}\)
Wychodzi na to, że liczba na lewo jest urojona i nie wiem do końca jak dalej to pociągnąć, chyba że zastosowałam zły patent.
Ostatnio zmieniony 14 paź 2013, o 22:25 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Moderator
- Posty: 10365
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1271 razy
Równanie zespolone z postacią wykładniczą
Rozwiązanie równania jest poprawne. Następnie można zapisać: \(\displaystyle{ e^{\text iz}=e^{a\text i+b}=e^b\cdot e^{a\text i}}\), skorzystać ze wzoru wiążącego funkcję \(\displaystyle{ e^x}\) i funkcje trygonometryczne i porównać części rzeczywiste i urojone.
- Assassin-Girl
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 22 lut 2013, o 18:32
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Maczu-Pikczu
- Podziękował: 33 razy
- Assassin-Girl
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 22 lut 2013, o 18:32
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Maczu-Pikczu
- Podziękował: 33 razy
Równanie zespolone z postacią wykładniczą
Ok, czyli z prawej strony równania należy wyliczyć fazę, podstawić do wzoru i porównać części rzeczywiste i urojone?
- Assassin-Girl
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 22 lut 2013, o 18:32
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Maczu-Pikczu
- Podziękował: 33 razy
Równanie zespolone z postacią wykładniczą
Udało się rozwiązać. Dzięki za pomoc.
Już ostatnie pytanie. Nie wiem jak zabrać się za taki przykład \(\displaystyle{ (1+i)^{2-i}}\). W sumie można rozbić tę potęgę i będziemy mieć iloraz. Licznik policzyłoby się bez kłopotu, ale nie wiedziałabym za bardzo jak wziąć się za mianownik: \(\displaystyle{ (1+i)^{i}}\).
Już ostatnie pytanie. Nie wiem jak zabrać się za taki przykład \(\displaystyle{ (1+i)^{2-i}}\). W sumie można rozbić tę potęgę i będziemy mieć iloraz. Licznik policzyłoby się bez kłopotu, ale nie wiedziałabym za bardzo jak wziąć się za mianownik: \(\displaystyle{ (1+i)^{i}}\).
-
- Moderator
- Posty: 10365
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1271 razy
Równanie zespolone z postacią wykładniczą
\(\displaystyle{ (1+\text i)^{2-\text i}=e^{(2-\text i)\ln(1+\text i)}\)
Następnie należy skorzystać z definicji logarytmu zespolonego.
Następnie należy skorzystać z definicji logarytmu zespolonego.
- Assassin-Girl
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 22 lut 2013, o 18:32
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Maczu-Pikczu
- Podziękował: 33 razy
Równanie zespolone z postacią wykładniczą
\(\displaystyle{ e^{ \left( 2-i \right) \ln \left( 1+i \right) } = e^{ \left( 2-i \right) \left( \ln \sqrt{2} + i \left( \frac{\pi}{4} +2k\pi \right) \right) }}\)
Nie jestem do końca pewna czy o to właściwie chodziło. Wypadałoby teraz wszystko pomnożyć, ale to \(\displaystyle{ 2k\pi}\) mnie nurtuje.
Nie jestem do końca pewna czy o to właściwie chodziło. Wypadałoby teraz wszystko pomnożyć, ale to \(\displaystyle{ 2k\pi}\) mnie nurtuje.
Ostatnio zmieniony 18 paź 2013, o 19:31 przez Chromosom, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.