krzywe na płaszczyźnie

[anetaaneta1]

Naszkicować na płaszczyźnie następujące krzywe:
a) \(\displaystyle{ z(t)= t + \frac{i}{t} , t \in \left( 0, \infty \right)}\)
b) \(\displaystyle{ z(t)= 2 + i + 3 e^{it} , t \in \left( 0, \pi \right)}\)
c) \(\displaystyle{ z(t)= \frac{i}{1+2it} , t \in R}\)

mógłby ktoś dać mi jakieś wskazówki jak się za to zabrać

[Chromosom]

Wyznacz część rzeczywistą oraz urojoną tych wyrażeń.

[anetaaneta1]

w a) podpunkcie \(\displaystyle{ \Re z=t,\ \Im z= \frac{1}{t}}\)
i co teraz ?

[Chromosom]

\(\displaystyle{ \begin{cases}x=t\\ y=\frac1t\end{cases}}\)

Narysowanie wykresu tak określonej krzywej nie jest trudne.

[anetaaneta1]

a w podpunkcie b) ? bo tam już tak łatwo nie da się wyznaczyć części rzeczywistej i urojonej

[Chromosom]

\(\displaystyle{ e^{\text i\theta}=\cos\theta+\text i\sin\theta}\)

[anetaaneta1]

Mam pytanie co w przypadku
\(\displaystyle{ z\left( t\right) =1+i+\left( 2-i\right)t , t \in \left[ 0,1\right]}\)

i wyliczyłam
\(\displaystyle{ Re z\left( t\right) =1+2t}\)
\(\displaystyle{ Im z\left( t\right) =1-t}\)

i co teraz ?

[Chromosom]

\(\displaystyle{ \begin{cases}x(t)=1+2t\\y(t)=1-t\end{cases}}\)

[anetaaneta1]

no tak wiem tylko jak tą krzywą teraz narysować?

[yorgin]

Można to zrobić na co najmniej trzy sposoby.

1. Dokonaj reparametryzacji przyjmując \(\displaystyle{ t(s)=\frac{1}{2}s-\frac{1}{2}}\). Wtedy przedział \(\displaystyle{ t\in[0,1]}\) trzeba przerobić na przedział dla \(\displaystyle{ s}\).

2. Spróbuj przedstawić \(\displaystyle{ y(t)=ax(t)+b}\).

3. Zaznacz na płaszczyźnie punkty \(\displaystyle{ (x(0),y(0))}\) oraz \(\displaystyle{ (x(1),y(1))}\) i połącz ze sobą. Linią prostą.