Pierwiastkowanie liczby zespolonej

[xxjamesxx]

Witam serdecznie! Mam problem z liczbami zespolonymi. Już od dwóch dni próbuję to zrozumieć i niestety, nie potrafię.. Boję się przed kolejnymi ćwiczeniami z matematyki, że po prostu nic nie będę umieć. Może przedstawię z czym mam problem i jeśli ktoś będzie potrafił, to mi wytłumaczy?
Przede wszystkim- zdawałam niestety tylko podstawę z matematyki i dopiero na studiach spotkałam się z terminem wzorów redukcyjnych. Nie wiem jak postępować gdy znajduję się w 3. ćwiartce. Może głupie, ale wszystko musiałam sobie brać 'na rozum' w domu bez nauczycieli czy umiejących to osób. Jest przykład \(\displaystyle{ z=-\sqrt{3}}\) -i wtedy liczymy sobie \(\displaystyle{ |z|=2 i \cos \phi=- \frac{\sqrt{3} }{2}}\) a \(\displaystyle{ \sin \phi= - 0,5}\) czyli - \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6}}\) czyli znajdujemy się w III ćwiartce. Jak teraz zapisać to w postaci trygonometrycznej? W odpowiedziach widzę że nagle pojawia się \(\displaystyle{ 7/6\pi}\) . Czyli gdy jesteśmy w III ćwiartce do pi dodajemy to jaki nam wyszedł argument? (chyba że mylę pojęcia) Ogólnie mam problem z tym jak zapisać w postaci trygonometrycznej gdy już wiemy jaki mamy kąt z sinusa/cosinusa i jak to zapisać w tym równaniu, czy dodawać czy odejmować, czy od \(\displaystyle{ \pi}\) czy od \(\displaystyle{ 2 \pi}\)..
Dalej przechodzę do mojego największego problemu, czyli do pierwiastkowania. Mam tu \(\displaystyle{ \sqrt{-8-6i}}\) . Najpierw policzyłabym \(\displaystyle{ |z|=10}\). I teraz \(\displaystyle{ \cos \phi= - \frac{4}{5}}\) a \(\displaystyle{ \sin \phi= -\frac{3}{5}}\) I jak teraz wyznaczyć kąt w którym znajdzie się \(\displaystyle{ \pi}\) ? Jak to zapisać w równaniu i jak obliczyć? Wynik to \(\displaystyle{ \pm (1- 3i)}\). Nie wiem skąd się tu wziął ten wynik.. Bardzo proszę o pomoc i o wytłumaczenie. Nie tyle o rozwiązanie, ale o wytłumaczenie. W środę kolejna matematyka a ja jestem przerażona.

*Poprawione, mam nadzieję, że jest czytelnie
Średnio - yorgin

[cosinus90]

Na wstępie - zmień płeć w profilu, bo masz ustawioną męską

Co do wzorów redukcyjnych i znajdowania ćwiartek - to nie takie trudne, jak się wydaje; jeżeli sinus oraz cosinus przyjmują wartości ujemne, to wiadomo że jest to III ćwiartka (mam nadzieję, że wiesz dlaczego) i wówczas korzystamy ze wzoru redukcyjnego

\(\displaystyle{ \sin (\pi+\alpha) = -\sin\alpha}\). Nie będę tutaj rozpisywał każdego przypadku bo jest ich dużo, po prostu zawsze trzeba określić ćwiartkę, a dalej znaleźć kąt, najlepiej dodając do/odejmując od \(\displaystyle{ \pi}\) lub \(\displaystyle{ 2\pi}\) kąt podstawowy.

Jeśli chodzi o przykład z pierwiastkiem, tutaj przejście na postać trygonometryczną wiele nie pomoże, ponieważ wartości sinusa/cosinusa nie są "typowe". Tutaj należy skorzystać z metody algebraicznej, tj. zapisać postać algebraiczną liczby zespolonej \(\displaystyle{ z = a+bi}\), podnieść stronami do kwadratu, przyrównać do siebie współczynniki rzeczywiste oraz urojone i rozwiązać powstały układ równań.

[xxjamesxx]

Ok, zmienię
Hm, co do tego pierwiastkowania to niestety nie miałam jeszcze takich zadań z podnoszeniem do kwadratu i rozwiązaniem układu równań, więc może dopiero na ćwiczeniach zostanie to wytłumaczone..

A mam jeszcze jedno pytanie, żeby dokładniej to zrozumieć. Jest przykład \(\displaystyle{ z=\sqrt{3}-i}\)
\(\displaystyle{ |z|=2}\)
\(\displaystyle{ \cos \phi=\frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin \phi=- \frac{1}{2}}\)
czyli jesteśmy w IV ćwiartce. I teraz odejmujemy od \(\displaystyle{ 2\pi}\) czy dodajemy do \(\displaystyle{ \pi}\) ? Właśnie to sprawia mi problem.. Pewnie wynika to z tego, że nie miałam nigdy wcześniej tych wzorów redukcyjnych.

[cosinus90]

Hm, co do tego pierwiastkowania to niestety nie miałam jeszcze takich zadań z podnoszeniem do kwadratu i rozwiązaniem układu równań, więc może dopiero na ćwiczeniach zostanie to wytłumaczone..

A co jeśli nie będzie? Studiowanie to z definicji samodzielne zgłębianie wiedzy, to nie takie trudne co napisałem, myślenie nie boli porzuć typowo szkolne podejście pt. "tego nie było, więc nie muszę tego umieć".

\(\displaystyle{ \alpha}\) jest z definicji kątem ostrym, zatem jeśli dodasz go do \(\displaystyle{ \pi}\) to osiągniesz nie więcej niż trzecią ćwiartkę.

[xxjamesxx]

Dzięki, wiem o co chodzi!

Wiem, wiem, tu nie jest jak w liceum, dopiero drugi tydzień studiowania, muszę przejść na ten tryb. W sumie nawet nie miałam jeszcze ćwiczeń z liczb zespolonych, tylko wykłady, więc już sama staram się zgłębić wiedzę, jak to określiłeś. Wiem do kogo się zwracać w razie co, uff.

[cosinus90]

No, nie zawsze ja Ci odpiszę, ale jest tutaj wiele pomocnych osób.

Jeszcze co do określania kątów przy użyciu wzorów redukcyjnych to dodam dla ścisłości, że oczywiście można korzystać ze wzorów redukcyjnych zawierających nieparzyste wielokrotności \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\), tj. dla kątów \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} + \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{2}+ \alpha}\), ale w tym przypadku pojawia się konieczność przekształcenia danej funkcji trygonometrycznej w jej kofunkcję, co bardziej komplikuje sprawę i jest okazją do popełnienia błędu. Dlatego też ja zawsze pokazuję metodę z parzystymi wielokrotnościami, tj. \(\displaystyle{ \pi, 2\pi}\).

[xxjamesxx]

Przepraszam że znowu zawracam głowę ale kompletnie się pogubiłam.
Biorąc przykład że \(\displaystyle{ z=- \sqrt{3} -1}\) policzyłam, że \(\displaystyle{ \sin=-0.5}\) a \(\displaystyle{ \cos= -\frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
Jesteśmy więc w 3. ćwiartce, a \(\displaystyle{ arg= \frac{ \pi }{6}}\)
Wydaje mi się że powinno więc być że \(\displaystyle{ \pi + \frac{ \pi }{6}}\) czyli postać trygonometryczna:
\(\displaystyle{ z=- \sqrt{3} -1=2(-cos \frac{ \pi }{6} - isin \frac{ \pi }{6})}\)
ale w odpowiedziach jest:
\(\displaystyle{ z=- \sqrt{3} -1=2( \frac{7 \pi }{6} + isin ( \frac{7 \pi }{6} )}\)

Wychodzi więc że po prostu do pi dodali 1/6 pi. Wydawało mi się że korzystamy z wzorów redukcyjnych, a teraz chyba znowu nic nie wiem.. Czy ja źle rozumuję, czy coś jest źle w odpowiedziach?

[gardner]

Proponuję narysować sobie oś współrzędnych i zaznaczyć wartości których kątów szukasz, w twoim przypadku \(\displaystyle{ \frac{- \sqrt{3} }{2}}\) i \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}}\). Dodatkowo zapomniałaś gdzieś o \(\displaystyle{ i}\) a je trzeba uwzględnić na rysunku.

[cosinus90]

Po prostu trzeba dodać do siebie te kąty i nic więcej nie kombinować, właśnie o to chodzi w postaci trygonometrycznej żeby zapisać funkcje jednego kąta (nawet dość dużego).