Obliczyć iloczyn wszystkich pierwiastków

[poczatkujacy_ja]

Zad. Obliczyć iloczyn wszystkich pierwiastków zespolonych czwartego stopnia z \(\displaystyle{ z=1+2i}\)

Dochodzę do postaci: \(\displaystyle{ z=\sqrt5 \left( \frac{1}{\sqrt5}+i\frac{2}{\sqrt5} \right)}\)
Co dalej?

[chris_f]

Pomyśl troszkę. Pierwiastki można zapisać w postaci
\(\displaystyle{ z_k=\sqrt[4]{|z|}\left(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{4}+i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{4}\right)}\)
gdzie \(\displaystyle{ k=0,1,2,3}\).
Mnożąc liczby zespolone, mnożysz przez siebie ich moduły (a tu jak czterokrotnie pomnożysz przez siebie \(\displaystyle{ \sqrt[4]{|z|}}\) to dostaniesz ????), i dodajesz argumenty, czyli
argumentem tego iloczynu będzie
\(\displaystyle{ \frac{\varphi}{4}+\frac{\varphi+2\pi}{4}+\frac{\varphi+4\pi}{4}+\frac{\varphi+6\pi}{4}}\)
a to się równa ?????

[Totalq]

Odkop:
A co w przypadku nie iloczynu, a dodawania?
Moduł można wyłączyć przed nawias, ale co wtedy? Dodawać 4 różne cosinusy i 4 różne sinusy, czy może jest jakiś mądry sposób na dodanie takiego szeregu?

[a4karo]

A może po prostu tak:
pierwiastki czwartego stopnia z liczby \(\displaystyle{ z_0}\) spełniają równanie \(\displaystyle{ z^4-z_0=0}\). Co mówią wzory Viete'a w tym przypadku?