Znaleźć część rzeczywistą i urojoną

denatlu · Post autor: **denatlu** » 13 paź 2013, o 22:08

Niech \(\displaystyle{ u=\frac{z+4}{z-2i}}\). Naszkicować zbiór wszystkich liczb zespolonych \(\displaystyle{ z}\) dla których
a) liczba \(\displaystyle{ u}\) jest rzeczywista
b) liczba \(\displaystyle{ u}\) jest czysto urojona

\(\displaystyle{ u=\frac{z+4}{z-2i}=\frac{(z+4)(z+2i)}{(z-2i)(z+2i)}=\frac{z^2-2iz+4z+8i}{z^2+1}}\)

I dalej podstawiać \(\displaystyle{ z=a+bi \wedge a,b \in \mathbb{R}}\). Chyba się to trochę minie z celem, bo będzie straszny licznik i mianownik, więc wtem nie pójdzie tego narysować.

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 13 paź 2013, o 22:09

Najpierw podstaw tak w początkowej postaci, a dopiero potem pomnóż przez sprzężenie mianownika.

denatlu · Post autor: **denatlu** » 13 paź 2013, o 22:19

ale to mam:

\(\displaystyle{ u=\frac{a^2+b^2+4a+8i+2ai-2bi}{a^2+b^2-4b+4}}\)

i mógłbym to przedstawić w postaci dwóch ułamków ale czy bym to narysował?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 13 paź 2013, o 22:23

Na razie sprawdź, dla jakich \(\displaystyle{ a,b}\) są spełnione warunki zadania.

denatlu · Post autor: **denatlu** » 13 paź 2013, o 23:01

Chodzi, że będzie rzeczywistą gdy \(\displaystyle{ 2a-2b+8=0}\)? A gdy \(\displaystyle{ a^2+b^2+4a=0}\) to będzie czysto urojoną? Pierwszy raz robię takie zadanie.

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 13 paź 2013, o 23:04

Tak, przy czym należy odrzucić \(\displaystyle{ a,b}\) które zerują mianownik ułamka, a także przy podpunkcie b) dopisać, że jeszcze \(\displaystyle{ 2a-2b+8 \neq 0}\).

denatlu · Post autor: **denatlu** » 13 paź 2013, o 23:22

trochę nie ogarniam

a) \(\displaystyle{ 2a-2b+8=0}\)
\(\displaystyle{ a=b-4}\)
dla \(\displaystyle{ a=b-4}\) mianownik nie ma wartości zerowej.

mianownik:
\(\displaystyle{ a^2_b^2-4b+4 \neq 0 \\
a^2+(b-2)^2 \neq 4}\)
nie wiem co z tego wynika.

To jest w takim razie prosta postaci \(\displaystyle{ z=b-4+bi}\) ?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 13 paź 2013, o 23:26

Jeśli tego nie wiesz, to powiem że \(\displaystyle{ a,b}\) na płaszczyźnie zespolonej są jak \(\displaystyle{ x,y}\) w kartezjańskim układzie współrzędnych. Wystarczy zatem wyznaczyć \(\displaystyle{ b}\) w zależności od \(\displaystyle{ a}\) i narysować taką prostą.

Co do zerowania się mianownika, wiele z tego nie wynika, należy sprawdzić dokładnie to, co napisałeś - czy przypadkiem mianownik się nie zeruje przy danym rozwiązaniu.