liczba zespolona do potęgi

[anetaaneta1]

Oblicz:
\(\displaystyle{ \left( 1- \sqrt{3}i \right) ^{4}}\)

i przedstawiłam tą liczbe w postaci trygonometrycznej :

\(\displaystyle{ \left( 1- \sqrt{3}i \right) ^{4}=2 \left( \cos \left( \frac{22 \pi }{3} \right) + i \sin \left( \frac{22 \pi }{3} \right) \right)}\)

i teraz ze wzoru de moivre

\(\displaystyle{ z_{k}= \sqrt[4]{2} \left( \cos \left( \frac{ \frac{22 \pi }{3}+2k \pi }{4} \right) + i \sin \left( \frac{ \frac{22 \pi }{3}+2k \pi }{4} \right)}\)

I mam pytanie czy dobrze to policzyłam ?

[chris_f]

Skąd wzięłaś taki "nietypowy" argument?
Mamy \(\displaystyle{ z=1-\sqrt{3}i,\quad |z|=2}\)
a zatem
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
\cos\varphi=\frac{1}{2}\\
\sin\varphi=-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}
\Rightarrow \varphi=\frac{5\pi}{3}}\)
Nie jest błędem ustalenie argumentu spoza przedziału \(\displaystyle{ [0,2\pi]}\), ale raczej to nie będzie \(\displaystyle{ \frac{22\pi}{3}}\)

[anetaaneta1]

A no tak żle tam pomnożyłam. Ale teraz mam tak

\(\displaystyle{ \left( 1- \sqrt{3}i \right) ^{4}=2^{4} \left( \cos \left( 4 \cdot \frac{5 \pi }{3} \right) + i \sin \left(4 \cdot \frac{5 \pi }{3} \right) \right)}\)

i teraz wzór ogólny \(\displaystyle{ z_{k} = \sqrt[4]{2}\left(\cos\left( \frac{ \frac{5 \pi }{3}+2k \pi }{4}\right) + i \sin\left( \frac{ \frac{5 \pi }{3}+2k \pi }{4} \right) \right)}\)

\(\displaystyle{ z_{0} = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{5 \pi }{12} + i\sin \frac{5 \pi }{12} \right) = \sqrt[4]{2} \left( 0.2588+i0.9659\right)}\)

i kolejne podstawić tylko do wzoru.

Dobrze to jest zrobione ?

[chris_f]

Jest dobrze, jeżeli prawidłowo policzyłaś wartości sinusa i cosinusa dla tego kąta (liczyłaś pewnie na kalkulatorze lub komputerze).
Nie jest to błędne, ale matematycy się przyczepią, bo dla kątów połówkowych mamy dokładne wzory dla tych funkcji trygonometrycznych.
Inaczej mówiąc można wyrazić \(\displaystyle{ \cos\frac{5\pi}{12}}\) i \(\displaystyle{ \sin\frac{5\pi}{12}}\) poprzez wyrażenia z pierwiastkami i ułamkami.