Ile rozwiązań ma równanie

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
poczatkujacy_ja
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 13 paź 2013, o 15:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Ile rozwiązań ma równanie

Post autor: poczatkujacy_ja »

Zatrzymałem się na zadaniu:
Ile rozwiązań ma równanie: \(\displaystyle{ z^6=\overline z}\)

Wychodzi mi coś takiego: \(\displaystyle{ |z|^6(\cos 6\alpha + j\sin 6\alpha)=|z|(\cos \alpha + j\sin (\alpha+\pi))}\)

Dochodzę do wniosku, że:
\(\displaystyle{ 6\alpha = \alpha}\)
i
\(\displaystyle{ 6\alpha = \alpha + \pi}\)

Nie wiem co dalej.
Z góry dziękuję za pomoc.
Ostatnio zmieniony 15 paź 2013, o 13:35 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Ile rozwiązań ma równanie

Post autor: Kartezjusz »

w obu funkcjach argumenty musisz zmienić. w Cosinusie też masz \(\displaystyle{ \alpha + \pi}\)
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Ile rozwiązań ma równanie

Post autor: yorgin »

Z postaci wykładniczej ładnie wychodzi:

339713.htm
341991.htm
poczatkujacy_ja
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 13 paź 2013, o 15:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Ile rozwiązań ma równanie

Post autor: poczatkujacy_ja »

Wpadłem jeszcze na inny pomysł. Mogę to zrobić tak?
\(\displaystyle{ z^6=\frac{|z|^2}{z}}\)
\(\displaystyle{ z^7=|z|^2}\)
|z| musi być równe albo 0 albo 1.
Dla przypadku. gdy \(\displaystyle{ |z|=0}\), mamy jedno rozwiązanie
Dla przypadku, gdy \(\displaystyle{ |z|=1}\), mamy 7 rozwiązań.

Łacznie 8.

Czy jest to poprawne?
ODPOWIEDZ